Ограничения уникальности, накладываемые объявлениями первичного и кандидатных ключей отношения, является частным случаем ограничений, связанных с понятием функциональных зависимостей .

Для объяснения понятия функциональной зависимости, рассмотрим следующий пример.

Пусть нам дано отношение, содержащее данные о результатах какой-то одной конкретной сессии. Схема этого отношения выглядит следующим образом:

Сессия (№ зачетной книжки , Фамилия, Имя, Отчество, Предмет , Оценка);

Атрибуты «№ зачетной книжки» и «Предмет» образуют составной (так как ключом объявлены два атрибута) первичный ключ этого отношения. Действительно, по двум этим атрибутам можно однозначно определить значения всех остальные атрибутов.

Однако, помимо ограничения уникальности, связанной с этим ключом, на отношение непременно должно быть наложено то условие, что одна зачетная книжка выдается обязательно одному конкретному человеку и, следовательно, в этом отношении кортежи с одинаковым номером зачетной книжки должны содержать одинаковые значения атрибутов «Фамилия», «Имя» и «Отчество».

Если у нас имеется следующий фрагмент какой-то определенной базы данных студентов учебного заведения после какой-то сессии, то в кортежах с номером зачетной книжки 100, атрибуты «Фамилия», «Имя» и «Отчество» совпадают, а атрибуты «Предмет» и «Оценка» – не совпадают (что и понятно, ведь в них речь идет о разных предметах и успеваемости по ним). Это значит, что атрибуты «Фамилия», «Имя» и «Отчество» функционально зависят от атрибута «№ зачетной книжки», а атрибуты «Предмет» и «Оценка» функционально не зависят.

Таким образом, функциональная зависимость – это однозначная зависимость, затабулированная в системах управления базами данных.

Теперь дадим строгое определение функциональной зависимости.

Определение : пусть X, Y – подсхемы схемы отношения S, определяющие над схемой S схему функциональной зависимости X > Y (читается «X стрелка Y»). Определим ограничения функциональной зависимости inv > Y> как утверждение о том, что в отношении со схемой S любые два кортежа, совпадающие в проекции на подсхему X, должны совпадать и в проекции на подсхему Y.

Запишем это же определение в формулярном виде:

Inv > Y> r (S ) = t 1 , t 2 ? r (t 1 [X ] = t 2 [X ] ? t 1 [Y ] = t 2 [Y ]), X , Y ? S;

Любопытно, что в этом определении использовано понятие унарной операции проекции, с которым мы сталкивались раньше. Действительно, как еще, если не использовать эту операцию, показать равенство друг другу двух столбцов таблицы-отношения, а не строк? Поэтому мы и записали в терминах этой операции, что совпадение кортежей в проекции на какой-то атрибут или несколько атрибутов (подсхему X) непременно влечет за собой совпадение этих же столбцов-кортежей и на подсхеме Y в том случае, если Y функционально зависит от X.

Интересно заметить, что в случае функциональной зависимости Y от X, говорят также, что X функционально определяет Y или что Y функционально зависит от X. В схеме функциональной зависимости X > Y подсхема X называется левой частью, а подсхема Y – правой частью.

На практике проектирования баз данных на схему функциональной зависимости для краткости обычно ссылаются как на функциональную зависимость.

Конец определения .

В частном случае, когда правая часть функциональной зависимости, т. е. подсхема Y, совпадает со всей схемой отношения, ограничение функциональной зависимости переходит в ограничение уникальности первичного или кандидатного ключа. Действительно:

Inv <K > S > r (S ) = ? t 1 , t 2 ? r (t 1 [K ] = t 2 [K ] > t 1 (S ) = t 2 (S )), K ? S ;

Просто в определении функциональной зависимости вместо подсхемы X нужно взять обозначение ключа K, а вместо правой части функциональной зависимости, подсхемы Y взять всю схему отношений S, т. е., действительно, ограничение уникальности ключей отношений является частным случаем ограничения функциональной зависимости при равенстве правой части схемы функциональной зависимости всей схеме отношения.

Приведем примеры изображения функциональной зависимости:

{№ зачетной книжки} > {Фамилия, Имя, Отчество};

{№ зачетной книжки, Предмет} > {Оценка};

2. Правила вывода Армстронга

Если какое-либо базовое отношение удовлетворяет векторно определенным функциональным зависимостям, то с помощью различных специальных правил вывода можно получить другие функциональные зависимости, которым данное базовое отношение будет заведомо удовлетворять.

Хорошим примером таких специальных правил являются правила вывода Армстронга.

Но прежде чем приступать к анализу самих правил вывода Армстронга, введем в рассмотрение новый металингвистический символ «+», который называется символом метаутверждения о выводимости . Этот символ при формулировании правил записывается между двумя синтаксическими выражениями и свидетельствует о том, что из формулы, стоящей слева от него, выводится формула, стоящая справа от него.

Сформулируем теперь сами правила вывода Армстронга в виде следующей теоремы.

Теорема. Справедливы следующие правила, называемые правилами вывода Армстронга.

Правило вывода 1. + X > X;

Правило вывода 2. X > Y+ X ? Z > Y;

Правило вывода 3. X > Y, Y ? W > Z + X ? W > Z;

Здесь X, Y, Z, W – произвольные подсхемы схемы отношения S. Символ метаутверждения о выводимости разделяет списки посылок и списки утверждений (заключений).

1. Первое правило вывода называется «рефлексивность » и читается следующим образом: «выводится правило: “X функционально влечет за собой X”». Это самое простое из правил вывода Армстронга. Оно выводится буквально из воздуха.

Интересно заметить, что функциональная зависимость, обладающая и левой, и правой частями, называется рефлексивной . Согласно правилу рефлексивности ограничение рефлексивной зависимости выполняется автоматически.

2. Второе правило вывода называется «пополнение » и читается таким образом: «если X функционально определяет Y, то выводится правило: “объединение подсхем X и Z функционально влечет за собой Y”». Правило пополнения позволяет расширять левую часть ограничения функциональных зависимостей.

3. Третье правило вывода называется «псевдотранзитивность » и читается следующим образом: “если подсхема X функционально влечет за собой подсхему Y и объединение подсхем Y и W функционально влекут за собой Z, то выводится правило: «объединение подсхем X и W функционально определяют подсхему Z»”.

Правило псевдотранзитивности обобщает правило транзитивности, соответствующее частному случаю W: = 0. Приведем формулярную запись этого правила:

Необходимо отметить, что посылки и заключения, приведенные ранее, были представлены в сокращенной форме обозначениями схем функциональной зависимости. В расширенной форме им соответствуют следующие ограничения функциональных зависимостей.

Правило вывода 1. inv X> r(S);

Правило вывода 2. inv Y> r(S) ? inv Y> r(S);

Правило вывода 3. inv Y> r(S) & inv Z> r(S) ? inv Z> r(S);

Проведем доказательства этих правил вывода.

1. Доказательство правила рефлексивности следует непосредственно из определения ограничения функциональной зависимости при подстановке вместо подсхемы Y – подсхемы X.

Действительно, возьмем ограничение функциональной зависимости:

Inv Y> r(S) и подставим в него X вместо Y, получим:

Inv X> r(S), а это и есть правило рефлексивности.

Правило рефлексивности доказано.

2. Доказательство правила пополнения проиллюстрируем на диаграммах функциональной зависимости.

Первая диаграмма – это диаграмма посылки:

посылка: X > Y

Вторая диаграмма:

заключение: X ? Z > Y

Пусть кортежи равны на X ? Z. Тогда они равны на X. Согласно посылке они будут равны и на Y.

Правило пополнения доказано.

3. Доказательство правила псевдотранзитивности также проиллюстрируем на диаграммах, которых в этом конкретном случае будет три.

Первая диаграмма – первая посылка:

посылка 1: X > Y

посылка 2: Y ? W > Z

И, наконец, третья диаграмма – диаграмма заключения:

заключение: X ? W > Z

Пусть кортежи равны на X ? W. Тогда они равны и на X, и на W. Согласно Посылке 1, они будут равны и на Y. Отсюда, согласно Посылке 2, они будут равны и на Z.

Правило псевдотранзитивности доказано.

Все правила доказаны.

3. Производные правила вывода

Другим примером правил, с помощью которых можно, при необходимости вывести новые правила функциональной зависимости, являются так называемые производные правила вывода .

Что это за правила, как они получаются?

Известно, что если из одних правил, уже существующих, законными логическими методами вывести другие, то эти новые правила, называемые производными , можно использовать наряду с исходными правилами.

Необходимо специально отметить, что эти самые произвольные правила являются «производными» именно от пройденных нами ранее правил вывода Армстронга.

Сформулируем производные правила вывода функциональных зависимостей в виде следующей теоремы.

Теорема.

Следующие правила являются производными от правил вывода Армстронга.

Правило вывода 1. + X ? Z > X;

Правило вывода 2. X > Y, X > Z + X ? Y > Z;

Правило вывода 3. X > Y ? Z + X > Y, X > Z;

Здесь X, Y, Z, W, так же как и в предыдущем случае, – произвольные подсхемы схемы отношения S.

1. Первое производное правило называется правилом тривиальности и читается следующим образом:

«Выводится правило: “объединение подсхем X и Z функционально влечет за собой X”».

Функциональная зависимость с левой частью, являющейся подмножеством правой части, называется тривиальной . Согласно правилу тривиальности ограничения тривиальной зависимости выполняются автоматически.

Интересно, что правило тривиальности является обобщением правила рефлексивности и, как и последнее, могло бы быть получено непосредственно из определения ограничения функциональной зависимости. Тот факт, что это правило является производным, не случаен и связан с полнотой системы правил Армстронга. Подробнее о полноте системы правил Армстронга мы поговорим чуть позднее.

2. Второе производное правило называется правилом аддитивности и читается следующим образом: «Если подсхема X функционально определяет подсхему Y, и X одновременно функционально определяет Z, то из этих правил выводится следующее правило: “X функционально определяет объединение подсхем Y и Z”».

3. Третье производное правило называется правилом проективности или правилом «обращение аддитивности ». Оно читается следующим образом: «Если подсхема X функционально определяет объединение подсхем Y и Z, то из этого правила выводится правило: “X функционально определяет подсхему Y и одновременно X функционально определяет подсхему Z”», т. е., действительно, это производное правило является обращенным правилом аддитивности.

Любопытно, что правила аддитивности и проективности применительно к функциональным зависимостям с одинаковыми левыми частями позволяют объединять или, наоборот, расщеплять правые части зависимости.

При построении цепочек вывода после формулировки всех посылок применяется правило транзитивности с той целью, чтобы включить функциональную зависимость с правой частью, находящейся в заключении.

Проведем доказательства перечисленных произвольных правил вывода.

1. Доказательство правила тривиальности .

Проведем его, как и все последующие доказательства, по шагам:

1) имеем: X > X (из правила рефлексивности вывода Армстронга);

Правило тривиальности доказано.

2. Проведем пошаговое доказательство правила аддитивности :

1) имеем: X > Y (это посылка 1);

2) имеем: X > Z (это посылка 2);

3) имеем: Y ? Z > Y ? Z (из правила рефлексивности вывода Армстронга);

4) имеем: X ? Z > Y ? Z (получаем при помощи применения правила псевдотранзитивности вывода Армстронга, а потом как следствие первого и третьего шагов доказательства);

5) имеем: X ? X > Y ? Z (получаем, применяя правило псевдотранзитивности вывода Армстронга, а после следует из второго и четвертого шагов);

6) имеем X > Y ? Z (следует из пятого шага).

Правило аддитивности доказано.

3. И, наконец, проведем построение доказательства правила проективности :

1) имеем: X > Y ? Z, X > Y ? Z (это посылка);

2) имеем: Y > Y, Z > Z (выводится при помощи правила рефлексивности вывода Армстронга);

3) имеем: Y ? z > y, Y ? z > Z (получается из правила пополнения вывода Армстронга и следствием из второго шага доказательства);

4) имеем: X > Y, X > Z (получается, применением правила псевдотранзитивности вывода Армстронга, а затем как следствие из первого и третьего шагов доказательства).

Правило проективности доказано.

Все производные правила вывода доказаны.

4. Полнота системы правил Армстронга

Пусть F (S ) - заданное множество функциональных зависимостей, заданных над схемой отношения S.

Обозначим через inv <F (S )> ограничение, накладываемое этим множеством функциональных зависимостей. Распишем его:

Inv <F (S )> r (S ) = ?X > Y ?F (S ) [inv Y> r (S )].

Итак, это множество ограничений, накладываемое функциональными зависимостями, расшифровывается следующим образом: для любого правила из системы функциональных зависимостей X > Y, принадлежащего множеству функциональных зависимостей F (S ), действует ограничение функциональных зависимостей inv Y> r (S ), определенных над множеством отношения r (S ).

Пусть какое-то отношение r (S ) удовлетворяет этому ограничению.

Применяя правила вывода Армстронга к функциональным зависимостям, определенным для множества F (S ), можно получить новые функциональные зависимости, как уже было сказано и доказано нами ранее. И, что показательно, ограничениям этих функциональных зависимостей отношение F (S ) будет автоматически удовлетворять, что видно из расширенной формы записи правил вывода Армстронга. Напомним общий вид этих расширенных правил вывода:

Правило вывода 1. inv < X > X > r (S );

Правило вывода 2. inv Y> r (S ) ? inv ? Z > Y> r (S );

Правило вывода 3. inv Y> r (S ) & inv ? W > Z> r (S ) ? inv ? W > Z>;

Возвращаясь к нашим рассуждениям, пополним множество F (S ) новыми, выведенными из него же с помощью правил Армстронга зависимостями. Будем применять эту процедуру пополнения до тех пор, пока у нас не перестанут получаться новые функциональные зависимости. В результате этого построения мы получим новое множество функциональных зависимостей, называемое замыканием множества F (S ) и обозначаемое F + (S) .

Действительно, такое название вполне логично, ведь мы собственноручно путем длительного построения «замкнули» множество имеющихся функциональных зависимостей само на себе, прибавив (отсюда «+») все новые функциональные зависимости, получившиеся из имеющихся.

Необходимо заметить, что этот процесс построения замыкания конечен, ведь конечна сама схема отношения, на которой и проводятся все эти построения.

Само собой разумеется, что замыкание является надмножеством замыкаемого множества (действительно, ведь оно больше!) и ни сколько не изменяется при своем повторном замыкании.

Если записать только что сказанное в формулярном виде, то получим:

F (S ) ? F + (S ), [F + (S )] + = F + (S );

Далее из доказанной истинности (т. е. законности, правомерности) правил вывода Армстронга и определения замыкания следует, что любое отношение, удовлетворяющее ограничениям заданного множества функциональных зависимостей, будет удовлетворять ограничению зависимости, принадлежащей замыканию.

X > Y ? F + (S ) ? ?r (S ) [inv <F (S )> r (S ) ? inv Y> r (S )];

Итак, теорема полноты системы правил вывода Армстронга утверждает, что внешняя импликация может совершенно законно и обоснованно быть заменена эквивалентностью.

(Доказательство этой теоремы мы рассматривать не будем, так как сам процесс доказательства не столь важен в нашем конкретном курсе лекций.)

Объединение нескольких атрибутов в одно отношение выполняется не случайным образом. Данные, которые будут храниться в этом отношении, взаимосвязаны между собой. Эта взаимосвязь определяется множеством функциональных зависимостей между атрибутами отношения. Это означает, что значения одного атрибута зависят от значений других атрибутов, т. е. допустимы не любые сочетания значений атрибутов. Зависимости эти вытекают из ограничений предметной области. Например, в отношении Поставки существуют следующие ограничения:

· каждый поставщик имеет только один адрес,

· каждый поставщик поставляет товар по определенной цене,

· товары, поставленные разными поставщиками, могут быть распределены по разным складам, но товар одного наименования, поставляемый одним поставщиком, должен храниться только на одном складе,

· каждый склад имеет свой объем.

Эти ограничения являются зависимостями, которые можно сформулировать следующим образом:

· адрес функционально зависит от поставщика,

· цена функционально зависит от товара и поставщика,

· номер склада функционально зависит от товара и поставщика,

· объем функционально зависит от номера склада.

Функциональная зависимость имеет место, когда значения кортежа на одном множестве атрибутов однозначно определяют значения кортежа на другом множестве атрибутов (или на одном атрибуте).

Пусть отношение r имеет схему R , X и Y – подмножества R . Отношение r удовлетворяет функциональной зависимости X→Y , если π Y (σ X=x (r)) имеет не более чем один кортеж для каждого значения xÎX , т. е. значения атрибутов X однозначно определяют значения атрибутов Y.

Функциональную зависимость будем обозначать следующим образом:

· Поставщик → Адрес,

· {Товар, Поставщик}→ Цена,

· {Товар, Поставщик}→ Склад,

· Склад → Объем.

А читаются они так:

· Поставщик определяет Адрес,

· Товар и Поставщик определяют Цену,

· Товар и Поставщик определяют Склад,

· Склад определяет Объем.

На языке функциональных зависимостей ключ для схемы R – это подмножество KÍR , такое, что K →R , и никакое собственное подмножество K¢ÍK этим свойством не обладает.

Нормальные формы

Сформулируем правила, по которым следует проводить де­компо­­зицию отношения. Этот процесс называется нормализацией, т. е. при­­ведением отношения к нормальной форме.

Нормальные формы представляют собой ограничения на схему отношения, избавляющие ее от нежелательных свойств, которые были перечислены выше. Прежде чем приводить отношения к нор­мальной форме, следует построить все функциональные зависимости между атрибутами, которые существуют в предметной области.

Схема отношения R находится в первой нормальной форме (1НФ ), если значения всех атрибутов являются атомарными (не составными), т. е. значение каждого атрибута не является ни списком, ни множеством значений.

Например, атрибут ФИО является составным, состоит из трех данных: фамилии, имени и отчества.

Чтобы привести схему в 1НФ, нужно все составные атрибуты заменить простыми.

Чтобы избавиться от избыточности информации, хранящейся в базе данных, существуют вторая и третья нормальные формы.

Схема отношения R находится во второй нормальной форме (2НФ ), если она находится в первой нормальной форме, и каждый непервичный атрибут функционально полно зависит от первичного ключа.

Что такое неполная функциональная зависимость от ключа? Такая зависимость присутствует в отношении, если какой-либо атрибут, не входящий в ключ, функционально зависит от части атрибутов, входящих в ключ. Любой непервичный атрибут обязательно функционально зависит от всех первичных атрибутов по определению ключа отношения. А если какой-либо непервичный атрибут, кроме того, функционально зависит не от всех, а от части первичных атрибутов, то это и есть неполная функциональная зависимость.

Например, в отношении Поставка первичными атрибутами являются Товар и Поставщик . Атрибут Цена функционально полно зависит от ключа, а атрибут Адрес зависит от части ключа, т. е. только от атрибута Поставщик , это неполная функциональная зависимость. Значит, схема Поставки не находится во 2НФ.

Чтобы привести схему, находящуюся в 1НФ, ко 2НФ, нужно разбить ее на несколько схем:

· выполнить проекцию схемы R на первичные атрибуты и атрибуты, функционально полно зависящие от ключа, т. е. исключить непервичные атрибуты, которые неполно зависят от ключа,

· для каждой неполной функциональной зависимости выполнить проекцию схемы R на атрибуты, входящие в эту зависимость, т. е. оставить часть ключа отношения R и атрибуты, функционально зависящие от этой части.

В примере с отношением Поставки в результате приведения схемы ко 2НФ получатся два отношения:

Поставки_1 (Товар , Поставщик , Цена, Склад, Объем ),

Поставки_2 (Поставщик , Адрес ).

Однако информация об объеме склада продолжает дублироваться. Для устранения этого недостатка схемы существует третья нормальная форма.

Схема отношения R находится в третьей нормальной форме (3НФ ), если она находится во второй нормальной форме и в ней отсутствуют транзитивные зависимости непервичных атрибутов от ключа.

Что такое транзитивные зависимости? Транзитивная зависимость имеет место, если какой-либо непервичный атрибут функционально зависит от другого непервичного атрибута, а тот в свою очередь функционально зависит от ключа.

Схема отношения Поставки_1 (Товар , Поставщик , Цена, Склад, Объем ) не находится в 3НФ, так как в ней присутствует транзитивная зависимость:

{Товар, Поставщик } → Склад , Склад → Объем .

Чтобы привести схему, находящуюся во 2НФ, в 3НФ, нужно:

· выполнить проекцию схемы R на первичные атрибуты и атрибуты, транзитивно не зависящие от ключа, т. е. исключить непервичные атрибуты, которые транзитивно зависят от ключа,

· для каждого транзитивно зависимого непервичного атрибута выполнить проекцию схемы R на атрибуты, входящие во вторую часть транзитивной зависимости, т. е. оставить только непервичные атрибуты отношения R , между которыми имеется функциональная зависимость.

В примере с отношением Поставки_1 в результате приведения схемы к 3НФ получатся два отношения:

Поставки_1_1 (Товар , Поставщик , Цена, Склад ),

Поставки_1_2 (Склад , Объем ).

Таким образом, последовательно выполняя разделение исходной схемы отношения на несколько других схем согласно рассмотренным правилам, получаем схему в 3НФ, свободную от аномалий обновления и дублирования информации, о чем говорилось в начале раздела.

Процесс разделения схемы отношения на несколько других схем называется декомпозицией схемы отношения. Декомпозиция, приводящая отношение к одной из нормальных форм, называется нормализацией .

В рассмотренном примере в результате декомпозиции вместо одного отношения Поставки мы получили три новых отношения:

Поставки_1_1 (Товар , Поставщик , Цена, Склад ),

Поставки_1_2 (Склад , Объем ),

Поставки_2 (Поставщик , Адрес ).

При такой схеме, состоящей из трех связанных внешними ключами отношений, не будет дублирования информации об адресе поставщика и объеме склада, если склад пуст, то объем его останется в базе данных, если поставщик не поставляет товары, то его адрес все равно будет храниться в базе данных.

Как вы заметили, схема в 3НФ избавляет базу данных от дублирования информации и аномалий обновления, но не всегда.

Рассмотрим отношение Лекции (Студент , Предмет , Преподаватель ), которое хранит информацию о том, какие предметы изучают студенты и кто ведет эти предметы. Предметная область накладывает следующие ограничения:

· каждый студент, изучающий данный предмет, обучается только одним преподавателем,

· каждый преподаватель ведет только один предмет, но каждый предмет может вести несколько преподавателей.

Из этих ограничений вытекают следующие функциональные зависимости:

· {Студент, Предмет} → Преподаватель;

· Преподаватель → Предмет.

Из функциональных зависимостей вытекает, что ключом отношения Лекции будет набор атрибутов {Студент , Предмет }.

Отношение Лекции находится в 3НФ. Но оно страдает аномалиями обновления. Если требуется удалить информацию о том, что Петров изучает Физику, то утратится информация о том, что профессор Серов преподает Физику. В то же время информация о том, что профессор Белый ведет Алгебру, дублируется.

Эти трудности вызваны тем, что существует функциональная зависимость первичного атрибута от непервичного. Эта проблема решается в нормальной форме Бойса–Кодда.

Отношение находится в нормальной форме Бойса–Кодда (НФБК) , если оно находится в 3НФ и в нем отсутствуют зависимости первичных атрибутов от непервичных. Эквивалентное определение требует, чтобы все левые части функциональных зависимостей были потенциальными ключами.

Приведя отношение к НФБК, мы получим два отношения: Лекции_1 (Студент, Преподаватель ) и Лекции_2 (Преподаватель, Предмет ).

Многозначные зависимости

Атрибут X многозначно определяет атрибут Y в R (или Y многозначно зависит от X ), если каждому значению атрибута X соответствует множество (возможно, пустое) значений атрибута Y , никак не связанных с другими атрибутами R . То есть для наличия в отношении многозначной зависимости необходимо иметь как минимум три атрибута.

Многозначная зависимость обозначается двойной стрелкой: X→→Y .

Рассмотрим отношение Преподаватель (Номер , Имя_ребенка , Предмет , Должность ). Предметная область накладывает следующие ограничения:

· каждый преподаватель может иметь несколько детей,

· каждый преподаватель может вести несколько предметов,

· каждый преподаватель может занимать только одну должность,

· каждый предмет могут вести несколько преподавателей.

Тогда отношение Преподаватель имеет две многозначные зависимости и одну функциональную:

· Номер→→Имя_ребенка,

· Номер→→Предмет,

· Номер→Должность.

Отношение Преподаватель , во-первых, содержит избыточную информацию – должность преподавателя повторяется несколько раз. Во-вторых, оно не свободно от аномалий обновления: если у преподавателя появляется еще один ребенок, необходимо добавить в отношение не один кортеж, а столько, сколько предметов ведет этот преподаватель. Аналогично, при добавлении еще одного предмета требуется добавить столько кортежей, сколько детей имеет преподаватель. А если преподаватель не имеет детей, то информацию о том, какие предметы он ведет, вообще нельзя занести в отношение.

Для избавления от этих аномалий необходимо привести отношение к четвертой нормальной форме.

Отношение находится в четвертой нармальной форме (4НФ ), если оно находится в нормальной форме Бойса–Кодда и в нем отсутствуют многозначные зависимости, которые не являются функциональными.

После приведения отношения Преподаватель к 4НФ мы получим три отношения:

Преподаватель_1 (Номер , Должность ),

Преподаватель_2 (Номер , Имя_ребенка ),

Преподаватель_3 (Номер , Предмет ).

Свойства декомпозиции

Зависимости между атрибутами

Атрибут В функционально зависит от атрибута А, если каждому значению А соответствует только одно значение В.

Обознач-ся:А В

2. Если существует функциональная зависимость вида А В и В А, то между А и В имеется взаимосвязанное соответствие или функциональная взаимозависимость

Обозн: А В

Частичная функциональная зависимость это зависимость неключевого атрибута от части составного ключа.

Полная функциональная зависимость

Когда неключевой атрибут полностью зависит от составного ключа.

Пр: Кафедра(ФИО, должен, оклад, стаж, д_стаж, кафедра, предмет, группа, вид занятий)

ФИО кафедра

ФИО должность

Атрибут С зависит от А транзитивно если для атрибутов А,В,С выполняется условие А В и В С, но нет обратной зависимости А С

Пример. ФИО должность оклад

В отношении rатрибут В многозначно зависит от атрибута А, если каждому значению А соответствует множество значений В, не связанных с другими атрибутами изr.

Обозн. А В, А В, А В ФИО предмет

Замечание: В общем случае между двумя атрибутами одного отношения могут существовать функциональные и многозначные зависимости (1:1, 1:M,M:M) т.к. зависимость между атрибутами является причиной аномалий, то необходимо разбить отношение с зависимостями атрибутов на несколько отношений. В результате получается совокупность связанных отношений, связи между которыми отражают зависимости между атрибутами различных отношений.

Два или более атрибутов называются взаимонезависимыми, если не один из этих атрибутов не зависит функционально от других атрибутов (Обозн. А¬
В).

Выявление зависимостей между атрибутами

Выявление зависимостей между атрибутами необходимо для выполнения проектирования БД методом нормальных форм.

Основной способ определения функциональной зависимости- это внимательный анализ семантики атрибутов .

A1 A3

Кроме того, А2 ¬ А1, А3 ¬ А1

Перечисляя все существующие функциональные зависимости в отношении rполучим полное множество функциональных зависимостей, которые обозначаютсяF + .

Зная некоторые функциональные зависимости, с помощью аксиом вывода можно получить полное множество F + для какого-либо отношения.

Для отношения “кафедра”:

ФИО оклад

ФИО должность

ФИО стаж

ФИО кафедра

ФИО д_стаж

Стаж д_стаж

Должность оклад

Оклад должность

ФИО.Преподаватель.Группа Вид занятий

Нормализация отношений

В реляционной БД каждое отношение должно быть нормализовано. Нормальная форма – это ограничение на схему БД, которое позволяет избежать аномалий при добавлении, удалении и изменении данных.

Отношение считается нормализованным (1НФ), если каждое значение любого атрибута в каждом картеже является неделимым (атомарным) элементом. Такими атомарными значениями являются простые типы данных.

2НФ В основном используются три нормальных формы.

Для всех нормальных форм соблюдается правило вложенности

Преимущества нормализации :

Лучшая организация БД, что облегчает работу пользователям и администраторам БД.

Сокращается избыточность информации, что ведет за собой упрощение структуры и рациональное использование дискового пространства.

Минимизируется дублируемая информация.

Нормализация с разбиением БД на более мелкие таблицы дает большую гибкость при изменении структур данных.

Большая безопасность БД.

После нормализации БД организация защиты информации, содержащейся в ней, значительно упрощается.

Недостатки :

Снижение производительности при выполнении запросов в БД.

Определения:

Отношение находится в 1НФ, если все элементы соответствующих доменов являются атомарными для каждого атрибута в исходном отношении. Исходное отношение строится таким образом чтобы оно находилось в 1НФ.

Значение является не атомарным, если оно используется приложением по частям.

Перевод отношения в следующую нормальную форму осуществляется методом декомпозиции без потерь.

Такая декомпозиция должна обеспечивать то что запросы к исходному отношению и к отношениям, получаемым в результате декомпозиции, дадут одинаковый результат.

Основной операцией в методе является операция проекции.

r (A,B,C,D,E) C D

r1(A,B,C,E) r2(C,D)π CD (r)

Частичная зависимость от ключа неключевых атрибутов приводит к следующему:

1. В отношении имеется явное и не явное избыточное дублирование данных, например, повторение о стаже, должности и окладе преподавателя, проводящих занятия в нескольких группах и/или по разным предметам. Повторение данных об окладах для одной и той же должности или данные о надбавке за стаж.

Следствием избыточного дублирования является проблема редактирования данных. Часть избыточности устраняется при переходе в 2НФ.

Отношение находится в 2НФ, если:

Отношение находится в 1НФ.

Каждый неключевой атрибут функционально полностью зависит от первичного ключа.

Для устранения частичной зависимости и перевода отношения в 2НФ необходимо:

Построить проекцию без атрибутов, находящихся в частичной функциональной зависимости от первичного ключа.

Построить проекцию на части составного первичного ключа и атрибута, зависящие от этих частей.

В результате получим два отношения r1,r2, находящихся во 2НФ:

Переход ко 2НФ позволяет исключить явную избыточность данных в отношении r2, тем не менее, дублирование данных сохраняется и поэтому необходимо преобразоватьr2 в 3НФ.

Опр.1: Отношение находится в 3НФ, если:

Удовлетворяются все требования 2НФ.

Если каждый неключевой атрибут не транзитивно зависит от первичного ключа.

Опр.2: Отношение находится в 3НФ в том случае, если все неключевые атрибуты взаимно независимы и полностью зависят от первичного ключа.

ФИО оклад должность

ФИО стаж Д_стаж

ФИО должность оклад

Транзитивные зависимости также порождают избыточное порождение данных.

Чтобы устранить транзитивные зависимости, необходимо использовать проекцию на атрибуты, являющиеся причиной данных транзитивных зависимостей.

В результате получим:

На практике, в большинстве случаев приведение к 3НФ является достаточным, и дальнейшую нормализацию не проводят.

Если в отношении имеется зависимость атрибутов составного ключа от неключевых атрибутов, то необходимо перейти к усиленной 3НФ, она называется НФБК.

Опр. Отношение находится в НФБК, если оно находится в 3НФ, и в нем отсутствуют зависимости ключей (атрибутов составного ключа) от неключевых атрибутов.

Понятие функциональной зависимости

Пусть R - ϶ᴛᴏ отношение. С одной стороны, оно имеет конкретное (постоянное) значение в данный момент времени. С другой стороны, это переменная, которая в каждый момент времени может принять неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ новое значение.

Понятие ФЗ можно применить и к первому, и ко второму случаю. При этом мы будем рассматривать только второй случай, т.к. он больше соответствует реальности.

Определœение функциональной зависимости. Пусть R – переменная отношения. X и Y – произвольные подмножества множества атрибутов R . Тогда Y функционально зависит от X , что в символическом виде записывается как X → Y (читается как ʼʼX функционально определяет Y ʼʼ) тогда и только тогда, когда для любого допустимого значения R каждое значение X связано точно с одним значением Y .

Здесь X называют детерминантом ФЗ, а Y – зависимой частью ФЗ.

Пример : Пусть R - ϶ᴛᴏ отношение Students . X – код студента͵ а Y – множество всœех атрибутов студента. Тогда X → Y , т.к. X представляет собой первичный ключ, который уникально идентифицирует запись в таблице Students .

Такое утверждение будет верно и для более общего случая: если X - ϶ᴛᴏ потенциальный ключ, то множество всœех атрибутов R всœегда функционально зависит от X .

При этом следует иметь в виду, что если в R имеется ФЗ, левая часть которой не включает потенциальный ключ, то R обладает избыточностью , что затрудняет обеспечение целостности данных и занимает лишние ресурсы системы.

В случае если ни один атрибут не должна быть опущен из левой части, то такая функциональная зависимость принято называть неприводимой (точнее, неприводимой слева ).

Пример :

{StudentID , FirstName , LastName , MiddleName } → {BirthDate } – приводимая ФЗ.

{StudentID } → {BirthDate } – неприводимая ФЗ.

Множество функциональных зависимостей принято называть неприводимым тогда и только тогда, когда оно обладает всœеми тремя перечисленными ниже свойствами:

1. Зависимая часть каждой функциональной зависимости содержит только один атрибут.

2. Детерминант каждой функциональной зависимости является неприводимым.

3. Ни одна функциональная зависимость из множества не должна быть удалена без потери информации о связях.

Рассмотрение множества неприводимых ФЗ важно для нормализации отношений.

Выделяют два вида ФЗ:

1. Тривиальные ФЗ - ϶ᴛᴏ ФЗ, в которых правая часть (Y ) является подмножеством левой части (X ). С практической точки зрения они не представляют значительного интереса, однако с точки зрения формальной теории зависимостей крайне важно учитывать их наличие.

2. Нетривиальные ФЗ . Οʜᴎ действительно являются ограничениями целостности данных, в связи с этим в дальнейшем мы будем рассматривать именно нетривиальные ФЗ.

Для определœения того в какой нормальной форме находится отношение, требуется найти всœе ФЗ. Существуют три правила Армстронга (шведский математик), позволяющие из начального множества ФЗ вывести возможные ФЗ.

Пусть A , B , C - ϶ᴛᴏ подмножества множества атрибутов отношения R , AB – объединœение этих подмножеств.

1. Правило рефлексивности . В случае если множество B является подмножеством множества А , то А → В . (По сути, это определœение тривиальной зависимости.)

2. Правило дополнения . В случае если А → B , то АС → ВС .

3. Правило транзитивности . В случае если А → B и B→C , то А → С .

Каждое из этих правил должна быть доказано на базе определœения ФЗ.

При этом в целях упрощения получения всœех ФЗ можно вывести еще несколько дополнительных правил (пусть D - ϶ᴛᴏ еще одно произвольное подмножество множества атрибутов R ):

4. Правило самоопределœения . А → А .

5. Правило декомпозиции . В случае если А → ВС , то А → B и A → C .

6. Правило объединœения . В случае если А → В и А → С , то А → ВС .

7. Правило композиции . В случае если А → B и С → D , то АС → BD .

8. Теорема всœеобщего объединœения . В случае если А→ B и C → D , то А(С – В) → BD .

Название теоремы указывает на то, что некоторые из перечисленных выше правил бывают выведены как частные случаи этой теоремы.

При этом следует иметь в виду, что эти правила не обеспечивают чёткого алгоритма получения всœех ФЗ. Более того, такого алгоритма не существует. Единственный путь - ϶ᴛᴏ перебор всœех вариантов.

Понятие функциональной зависимости - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Понятие функциональной зависимости" 2017, 2018.

Что такое функция? Функциональная зависимость, или функция, - это такая зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой говорят, что она является функцией от этого аргумента. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.

Существует несколько способов задания функции: 1.С помощью таблицы. 2.Графический. 3.С помощью формулы. Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx+b, где x – независимая переменная, k и b – заданные числа. Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки в координатной плоскости и провести через них прямую. Прямая пропорциональность – функция вида у=кх, где х – независимая переменная, к – не равное нулю число. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.

Построение графика линейной функции Для построения графика линейной функции необходимо: - выбрать любые два значения переменной х (аргумента), например 0 и 1; - вычислить соответствующие значения переменной y (функции). Полученные результаты удобно записывать в таблицу x01 y - полученные точки А и В изображаем в системе координат; - соединяем по линейке точки А и В. Пример. Построим график линейной функции y = -3·x+6. x01 y63

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида у=k/х, где х - независимая переменная и k - не равное нулю число. Областью определения такой функции является множество всех чисел, отличных от нуля. Если величины x и y обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением y = k / x, где k есть некоторая постоянная величина. График обратной пропорциональности есть кривая линия, состоящая из двух ветвей. Этот график называют гиперболой. В зависимости от знака k ветви гиперболы расположены либо в 1 и 3 координатных четвертях (k положительно), либо во 2 и 4 координатных четвертях (k отрицательно). На рисунке изображен график функции y = k/х, где k – отрицательное число.

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ. y=kx, k0, b=0 - прямая пропорциональность,. График - прямая, проходящая через начало координат; y=b, k=0, b0. (b>0, выше оси OX; b 0, выше оси OX; b"> 0, выше оси OX; b"> 0, выше оси OX; b" title="ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ. y=kx, k0, b=0 - прямая пропорциональность,. График - прямая, проходящая через начало координат; y=b, k=0, b0. (b>0, выше оси OX; b"> title="ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ. y=kx, k0, b=0 - прямая пропорциональность,. График - прямая, проходящая через начало координат; y=b, k=0, b0. (b>0, выше оси OX; b">