Обратный оператор

Пусть V -линейное пространство над полем Р, А - оператор (не обязательно линейный), действующий в V.

Определение. Оператор А называется обратимым, если существует такой оператор В, действующий в V, что ВА = АВ = I.

Определение. Оператор В, удовлетворяющий условию ВА = АВ = I, называется обратным к А и обозначается.

Таким образом, оператор, обратный к оператору А, удовлетворяет условию А=А = I. Для обратимого оператора А равенства Ах = y и у = х равносильны. Действительно, пусть Ах = у, тогда у =(Ах) = (А)х = Ix = х.

Если у = х, то

Ах = А(у) = (А)у = Iу = у.

Теорема. Если линейный оператор обратим, то обратный к нему оператор также является линейным.

Доказательство. Пусть А - обратимый линейный оператор, действующий в линейном пространстве V над полем Р, - оператор, обратный к А. Возьмем произвольные векторы и числа Положим, . Тогда А=, А=. В силу линейности оператора А

Отсюда получаем:

= = ,

То есть оператор является линейным.

Сопряженный линейный оператор

Пусть заданы два унитарных пространства X, Y.

Определение. Оператор А*, действующий из Y в X, называется сопряженным по отношению к оператору А, действующему из X в Y, если для любых векторов хХ, yY выполняется равенство

(Ах, у) = (х, А*у). (1)

Теорема. Для любого линейного оператора А существует сопряженный оператор А*, и притом только один.

Доказательство. Выберем в X какой-либо ортонормированный базис Для любого вектора хХ имеет место разложение

Если оператор А* существует, то, согласно этой формуле, для любого вектора yY имеем

Или по определению

Но это означает, что если оператор А* существует, то он единственный.

Построенный таким образом оператор А* является линейным. Он удовлетворяет и равенству (Ах, у) = (х, А*у). Действительно, учитывая ортонормированность системы и принимая во внимание (1), (2), получаем для любых векторов хХ, yY

(Ах, у) = (А) =,

(х, А*у) = (А) =

Теорема доказана.

Сопряженный оператор А* связан с оператором А определенными соотношениями. Отметим некоторые из них:

Доказательство. Рассмотрим произвольный оператор А и сопряженный к нему оператор А*. В свою очередь для оператора А* сопряженным будет оператор (А*)*. Теперь для любых хХ, yY имеем

(у, (А*)*х) = (А*у,х) == = (у,Ах).

Пусть в -мерном унитарном пространстве задан произвольный линейный оператор.

Определение 4. Линейный оператор называется сопряженным по отношению к оператору в том и только в том случае, если для любых двух векторов из выполняется равенство

. (46)

Мы докажем, что для каждого линейного оператора существует сопряженный оператор и притом только один. Для доказательства выберем в некоторый ортонормированный базис . Тогда [см. (41)] для искомого оператора и произвольного вектора из должно выполняться равенство

.

В силу (46) это равенство может быть переписано так:

. (47)

Примем теперь равенство (47) за определение оператора .

Легко проверить, что определенный таким образом оператор является линейным и удовлетворяет равенству (46) при произвольных векторах и из . Кроме того, равенство (47) однозначно определяет оператор . Таким образом, устанавливаются существование и единственность сопряженного оператора .

Пусть – линейный оператор в унитарном пространстве, а – матрица, отвечающая этому оператору в ортонормированном базисе . Тогда, применяя формулу (41) к вектору получим:

Пусть теперь сопряженному оператору в этом же базисе отвечает матрица . Тогда по формуле (48)

Из (48) и (49) в силу (46) следует:

Матрица является транспонированной и комплексно сопряженной для . Такую матрицу принято называть (см. главу I) сопряженной по отношению к .

Таким образом, в ортонормированном базисе сопряженным операторам отвечают сопряженные матрицы.

Из определения сопряженного оператора вытекают следующие его свойства:

2. ,

3. ( – скаляр),

Введем теперь одно важное понятие. Пусть – произвольное подпространство в . Обозначим через совокупность всех векторов из , ортогональных к . Легко видеть, что есть тоже подпространство в и что каждый вектор из однозначно представляется в виде суммы , где , т. е. имеет место расщепление

Это расщепление получаем, применяя к произвольному вектору из разложение (15) предыдущего параграфа. называется ортогональным дополнением к . Очевидно, будет ортогональным дополнением к . Мы пишем , понимая под этим то, что любой вектор из ортогонален любому вектору из .

Теперь мы сможем сформулировать фундаментальное свойство сопряженного оператора:

5. Если некоторое подпространство инвариантно относительно , то ортогональное дополнение этого подпространства будет инвариантно относительно .

Действительно, пусть . Тогда из следует и отсюда в силу (46) . Так как – произвольный вектор из , то , что и требовалось доказать.

Введем следующее определение:

Определение 5. Две системы векторов и назовем биортонормированными, если

где - символ Кронекера.

Теперь докажем следующее предложение:

6. Если – линейный оператор простой структуры, то сопряженный оператор также имеет простую структуру, причем можно так выбрать полные системы собственных векторов и операторов и , чтобы они были биортонормированы:

Действительно, пусть – полная система собственных векторов оператора . Введем обозначение

Рассмотрим одномерное ортогональное дополнение к –мерному подпространству . Тогда инвариантно относительно :

Из следует: , так как в противном случае вектор должен был бы равняться нулю. Помножая на надлежащие числовые множители, получим:

Из биортонормированности систем векторов и следует, что векторы каждой из этих систем линейно независимы.

Отметим еще такое предложение:

7. Если операторы и имеют общий собственный вектор, то характеристические числа этих операторов, отвечающие общему собственному вектору, комплексно сопряжены.

В самом деле, пусть . Тогда, полагая в (46) , будем иметь , откуда .

8. Пусть – собственный вектор оператора и пусть – ортогональное дополнение к одномерному подпространству . Поскольку , то согласно утверждению 5. подпространство инвариантно относительно оператора . Таким образом, у всякого линейного оператора в -мерном унитарном пространстве существует -мерное инвариантное подпространство., то при и, следовательно, матрица оператора является верхней треугольной. Мы пришли к следующей теореме:

Для любого линейного оператора в -мерном унитарном пространстве можно построить ортонормированный базис, в котором матрица этого оператора является треугольной.

Это предложение принято называть теоремой Шура. Разумеется, привлекая общую теорему о приведении матрицы оператора к жордановой форме, легко доказать теорему Шура последовательной ортогонализацией жорданова базиса. Приведенное доказательство по существу использует лишь существование у линейного оператора, действующего в -мерном унитарном пространстве, собственного вектора.

Изучим дополнительные свойства линейных операторов, связанные с понятием ортогональности в евклидовом пространстве. Вначале докажем следующее свойство: если A и B – линейные операторы, действующие в n -мерном евклидовом пространстве V , и (x , Ay ) = (x , By ), x , y V , то A = B .

В самом деле, положив в равенстве (x , Ay ) = (x , By ) Û (x , (A – B )y ) = 0 вектор x = (A – B )y , получим ((A –B )y , (A – B )y ) = ||(A – B )y || 2 = 0, y V , что равносильно равенству (A – B )y = 0 , y V , т. е. A – B = O , или A = B .

Определение 11.1. Линейный оператор A * называется сопряженным оператору A , если

(Ax , y ) = (x , A * y ), x , y V . (11.1)

Естественно возникает вопрос: существует ли для заданного оператора A сопряженный?

Теоремa 11.1. Каждый линейный оператор A имеет единственный сопряженный оператор A * .

Доказательство. Выберем в пространстве V ортонормированный базис u 1 , u 2 ,…, u n . Каждому линейному оператору A : V ®V в этом базисе отвечает матрица А = , i , j = 1, 2,..., n . Пусть – матрица, полученная из матрицы А транспонированием. Ей соответствует линейный оператор B . Тогда

(Au j , u i ) = (а 1 j u 1 + а 2 j u 2 +…+ а nj u n , u i ) = а ij ;

(u j , Bu i ) = (u j , а i 1 u 1 + а i 2 u 2 +…+ а in u n ) = а ij .

(Au j , u i ) = (u j , Bu i ), i , j = 1, 2,..., n . (11.2)

Пусть далее x = x 1 u 1 + x 2 u 2 +…+ x n u n и y = у 1 u 1 + у 2 u 2 +…+ у n u n – любые два вектора из V . Рассмотрим скалярные произведения (Ax , y ) и (x , By ):

(Ax , y ) = (Au j , u i ),

(x , By ) = (u j , Bu i ).

Сравнивая эти выражения с учетом равенства (11.2) и отмеченного выше свойства, получаем равенство (Ax , y ) = (x , By ), x , y V , т. е. B = A * .

Таким образом, доказано, что для каждого линейного оператора A в конечномерном евклидовом пространстве существует сопряженный ему оператор A * , матрица которого в любом ортонормированном базисе является транспонированной по отношению к матрице оператора A . Единственность оператора A * следует из определения сопряженного оператора и доказанного выше свойства.¨

Легко убедиться в том, что оператор A * , сопряженный линейному оператору A , является линейным.

Итак, оператор A * линеен и ему соответствует матрица A * . Поэтому соответствующее формуле (11.1) матричное соотношение имеет вид

(А x , y ) = (x , A * y ), x , y V .

Сопряженные операторы обладают следующими свойствами:

1°. Е * = Е .

2°. (A *) * = A .

3°. (A + B ) * = A * + B * .

4°. (А ) * = A * , R .

5°. (AB ) * = B * A * .

6°. (A –1) * = (A *) –1 .

Справедливость свойств 1°–5° вытекает из свойств транспонирования матриц.

Убедимся в справедливости свойства 6°. Пусть A –1 существует. Тогда из равенств AA –1 = A –1 A = Е и свойств 1°, 5° вытекает, что (AA –1) * = (A –1 A ) * = Е * = = Е и (AA –1) * = (A –1) * A * , (A –1 A ) * = A * (A –1) * , т. е. что (A –1) * = (A *) –1 . Отсюда получаем еще одно важное свойство транспонирования матриц:

(A –1) * = (A *) –1 .

Пример 1. Пусть A – поворот евклидовой плоскости R 2 на угол j с матрицей

в ортонормированном базисе i , j . Тогда матрицей сопряженного оператора в этом базисе является

= .

Следовательно, A * – поворот плоскости на угол j в противоположном направлении.·

Ненулевой элемент х G V называется собственным элементом линейного оператора А: V V, если найдется такое число Л - собственное значение линейного оператора А, что Пример 1. Всякий многочлен нулевой степени является собственным элементом оператора дифференцирования соответствующее собственное значение равно нулю: Пример 2. Оператор дифференцирования Собственные значения и собственные элементы. Сопряженный оператор. собственных элементов не имеет. Пусть некоторый тригонометрический многочлен a cos t + 0 sin t после дифференцирования переходит в пропорциональный: Это означает, что или, что то же, Последнее равенство выполняется в том и только в том случае, если откуда вытекает, что a = р = 0 и, значит, многочлен может быть только нулевым. Теорема 6. Вещественное число А является собственным значением линейного оператора А в том и только в том случае, когда это число - корень его характеристического многочлена: х(А) = 0. Неоходимость. Пусть А - собственное значение оператора А. Тогда найдется ненулевой элемент х, для которого Ах = Ах. Пусть - базис пространства. Тогда последнее равенство можно переписать в эквивалентном матричном виде или, что то же, И этого, что х - собственный элемент, вытекает, что его координатный столбец х(с) ненулевой. Это означает, что линейная система (1) имеет ненулевое решение. Последнее возможно лишь при условии, что или, что то же, Достаточность. Способ построения собственного элемента. Пусть А - корень многочлена Рассмотрим однородную линейную систему с матрицей А(с) - АI: В силу условия (2) эта система имеет ненулевое решение,. Построим элемент х по правилу Координатный столбец х(с) этого элемента удовлетворяет условию или, что тоже, Последнее эквивалентно тому, что или, подробнее, Следовательно, х - собственный элементлинейного оператора Л, а А - соответствующее ему собственное значение. Замечание. Для нахождения всех собственных элементов, отвечающих заданному собственному значению А, необходимо построить ФСР системы (3). Пример 1. Найти собственные векторы линейного оператора действующего по правилу (оператор проектирования) (рис.6). М Рассмотрим действия линейного оператора Р на базисные векторы. Имеем Запишем матрицу оператора: Собственные значения и собственные элементы. Сопряженный оператор. построим характеристический многочлен и найдем его корни. Имеем Построим однородные линейные системы с матрицами: Получим соответственно: Найдем фундаментальные системы решений для каждой из этих систем. Имеем 1 Таким образом, собственными векторами этого оператора проектирования являются: вектор к с собственным значением 0 и любой вектор с собственным значением Пример 2. Найти собственные элементы линейного оператора дифференцирования V, действующего в пространстве Afj многочленов степени не выше двух: Матрица D заданного оператора в базисе I, t, О имеет вид характеристический многочлен -А3 имеет ровно один корень А = 0. Решением системы является набор 1,0,0, которому соответствует многочлен нулевой степени. §5. Сопряженный оператор В евклидовом пространстве над линейными операторами можноввестиешеоднодей-ствие - операцию сопряжения. Пусть V - n-мерное евклидово пространство. С каждым линейным оператором действующим в этом пространстве; естественно связан другой линейный оператор, сопряженный данному. Определение. Линейный оператор (читается: «а со звездой») называется сопряженным линейному оператору А: V -* V, если для любых элементов х и у из пространства V выполняется равенство Линейный оператор А*, сопряженный данному оператору А, всегда существует. Пусть с = (et,..., en) - ортобазис пространства V и А = А(с) = (о^) - матрица линейного оператора А в этом базисе, т. е. Непосредственными вычислениями можно убедиться в том, что для линейного оператора А": V -» V, определяемого по правилу равенство (1) выполненоприлюбыхх и у. Напомним,чтосогласнотеореме 1, для того, чтобы построить линейный оператор, достаточно задать его действие на базисные элементы. Пример. Введем в линейном пространстве М\ многочленов с вещественными коэффициентами степени не выше первой операцию скалярного умножения по следующему правилу. Пусть Положим Тем самым, М\ - двумерное евклидово пространство. Пусть V: М\ - М\ - оператор дифференцирования: V(a + d»f) = Ь. Построим сопряженный оператор. Матрица оператора V в этом базисе имеет вид. Тогда - матрица сопряженного оператора V, действующего по правилу: Для произвольного многочлена получаем Свойства операции сопряжения 1. Укаждоголинейногооператорасуществуетровноодинсопряженныйемуоператор. Пусть В и С - операторы, сопряженные заданном уоператору А. Это означает, что для любых элементов х и у из пространства V выполняются равенства Отсюда вытекает, что Собственные значения и собственные элементы. Сопряженный оператор. и, далее, В силу произвольности выбора элемента х заключаем, что элемент Ву-Су ортогонален любому элементу пространства V и, в частности, себе самому. Последнее возможно лишь в случае, когда By - Су = 0 и, значит, By = С у. Вследствие того, что у - произвольный элемент, получаем В ~ С. 2. (а.4)* = аЛ*, где а - произвольное вещественное число. Пусть A:V -+ V и B:V -+ V - линейные операторы. Тогда Свойства 2-5 легко вытекают из единственности сопряженного оператора. 6. Пусть с - ортобазис пространства V. Для того, чтобы операторы А: V V и В: V -» V были взаимносопряженными, т.е. выполнялись равенства В = А", А = В*, необходимо и достаточно, чтобы их матрицы А = А(с) и В = В(с) получались одна из другой транспонированием. Замечание. Подчеркнем, что свойство 6 справедливо только для матрии, построенных в ортонормнро-ванном базисе. Для произвольного базиса оно неверно. 7. Если линейный оператор А невырожден, то сопряженный ему оператор А* также невырожден и выполняется равенство