Математика для экономистов. Линейная алгебра. Матрицы. Виды матриц. Основные термины Главный ступенчатый вид матрицы определяется

Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду (рис. 1.4), нужно выполнить следующие действия.

1. В первом столбце выбрать элемент, отличный от нуля (ведущий элемент ). Строку с ведущим элементом (ведущая строка ), если она не первая, переставить на место первой строки (преобразование I типа). Если в первом столбце нет ведущего (все элементы равны нулю), то исключаем этот столбец, и продолжаем поиск ведущего элемента в оставшейся части матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы или в оставшейся части матрицы все элементы нулевые.

2. Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент (преобразование II типа). Если ведущая строка последняя, то на этом преобразования следует закончить.

3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие под ведущим оказались равными нулю (преобразование III типа).

4. Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применяются к оставшейся части матрицы.

Теорема про розклад визначника по елементам рядка.

Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца позволяет свести вычисление определителя - го порядка () к вычислению определителей порядка.

Если определитель имеет равные нулю элементы, то удобнее всего разлагать определитель по элементам той строки или столбца, который содержит наибольшее число нулей.

Используя свойства определителей, можно преобразовать определитель - го порядка так, чтобы все элементы некоторой строки или столбца, кроме одного, стали равными нулю. Таким образом, вычисление определителя- го порядка, если он отличен от нуля, сведется к вычислению одного определителя- го порядка.

Задача 3.1. Вычислить определитель

Решение. Прибавив ко второй строке первую, к третьей – первую, умноженную на 2, к четвертой – первую, умноженную на -5, получим

Разлагая определитель по элементам первого столбца, имеем

.

В полученном определителе 3-го порядка обратим в нуль все элементы первого столбца, кроме первого. Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-1), к третьей, умноженной на 5, прибавим первую, умноженную на 8. Так как умножали третью строку на 5, то (для того, чтобы определитель не изменился) умножим его на . Имеем

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Теорема Лапласа(1). Теорема про чужі доповнення(2)

1)Определительравенсуммепроизведений элементов какой-либо строки на ихалгебраическиедополнения.

2)Суммапроизведенийэлементовкакой-либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой его строки равна нулю (теорема об умножении на чужие алгебраические дополнения).

Всякая точка на плоскости при выбранной системе координат задается парой (α, β) своих координат; числа α и β можно понимать также как координаты радиуса-вектора с концом в этой точке. Аналогично, в пространстве тройка (α, β, γ) определяет точку или вектор с координатами α, β, γ. Именно на этом основывается хорошо известная читателю геометрическая интерпретация систем линейных уравнений с двумя или тремя неизвестными. Так, в случае системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

а 1 х + b 1 у = с 1 ,

а 2 х + b 2 у = с 2

каждое из уравнений истолковывается как прямая на плоскости (см. рис. 26), а решение (α, β) - как точка пересечения этих прямых или как вектор с координатами аир (рисунок соответствует случаю, когда система имеет единственное решение).

Рис. 26

Аналогично можно поступить с системой линейных уравнений с тремя неизвестными, интерпретируя каждое уравнение как уравнение плоскости в пространстве.

В математике и различных ее приложениях (в частности, в теории кодирования) приходится иметь дело с системами линейных уравнений, содержащих более трех неизвестных. Системой линейных уравнений с n неизвестными x 1 , х 2 , ..., х n называется совокупность уравнений вида

а 11 х 1 + а 12 х 2 + ... + а 1n х n = b 1 ,

а 21 х 1 + а 22 х 2 + ... + а 2n х n = b 2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

а m1 х 1 + а m2 х 2 + ... + а mn х n = b m ,

где a ij и b i - произвольные действительные числа. Число уравнений в системе может быть любым и никак не связано с числом неизвестных. Коэффициенты при неизвестных а ij имеют двойную нумерацию: первый индекс i указывает номер уравнения, второй индекс j - номер неизвестного, при котором стоит данный коэффициент. Всякое решение системы понимается как набор (действительных) значений неизвестных (α 1 , α 2 , ..., α n), обращающих каждое уравнение в верное равенство.

Хотя непосредственное геометрическое истолкование системы (1) при n > 3 уже невозможно, однако вполне возможно и во многих отношениях удобно распространить на случай произвольного n геометрический язык пространства двух или трех измерений. Этой цели и служат дальнейшие определения.

Всякий упорядоченный набор из n действительных чисел (α 1 , α 2 , ..., α n) называется n-мерным арифметическим вектором, а сами числа α 1 , α 2 , ..., α n - координатами этого вектора.

Для обозначения векторов используется, как правило, жирный шрифт и для вектора а с координатами α 1 , α 2 , ..., α n сохраняется обычная форма записи:

а = (α 1 , α 2 , ..., α n).

По аналогии с обычной плоскостью множество всех n-мерных векторов, удовлетворяющих линейному уравнению с n неизвестными, называют гиперплоскостью в n-мерном пространстве. При таком определении множество всех решений системы (1) есть не что иное, как пересечение нескольких гиперплоскостей.

Сложение и умножение n-мерных векторов определяются по тем же правилам, что и для обычных векторов. А именно, если

а = (α 1 , α 2 , ..., α n), b = (β 1 , β 2 , ..., β n) (2)

Два n-мерных вектора, то их суммой называется вектор

α + β = (α 1 + β 1 , α 2 + β 2 , ..., α n + β n). (3)

Произведением вектора а на число λ называется вектор

λа = (λα 1 , λα 2 , ..., λα n). (4)

Множество всех n-мерных арифметических векторов с операциями сложения векторов и умножения вектора на число называется арифметическим n-мерным векторным пространством L n .

Используя введенные операции, можно рассматривать произвольные линейные комбинации нескольких векторов, т. е. выражения вида

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k ,

где λ i - действительные числа. Например, линейная комбинация векторов (2) с коэффициентами λ и μ - это вектор

λа + μb = (λα 1 + μβ 1 , λα 2 + μβ 2 , ..., λα n + μβ n).

В трехмерном пространстве векторов особую роль играет тройка векторов i, j, k (координатные орты), по которым разлагается любой вектор а:

a = xi + yj + zk,

где х, у, z - действительные числа (координаты вектора а).

В n-мерном случае такую же роль играет следующая система векторов:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

e n = (0, 0, 0, ..., 1).

Всякий вектор а есть, очевидно, линейная комбинация векторов е 1 , e 2 , ..., e n:

а = а 1 е 1 + а 2 е 2 + ... + а n е n , (6)

причем коэффициенты α 1 , α 2 , ..., α n совпадают с координатами вектора а.

Обозначая через 0 вектор, все координаты которого равны нулю (кратко, нулевой вектор), введем следующее важное определение:

Система векторов а 1 , а 2 , ..., а k называется линейно зависимой, если существует равная нулевому вектору линейная комбинация

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0,

в которой хотя бы один из коэффициентов h 1 , λ 2 , ..., λ k отличен от нуля. В противном случае система называется линейно независимой.

Так, векторы

а 1 = (1, 0, 1, 1), а 2 = (1, 2, 1, 1), а 3 = (2, 2, 2, 2)

линейно зависимы, поскольку

a 1 + a 2 - а 3 = 0.

Линейная зависимость, как видно из определения, равносильна (при k ≥ 2) тому, что хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных.

Если система состоит из двух векторов a 1 , а 2 , то линейная зависимость системы означает, что один из векторов пропорционален другому, скажем, а 1 = λа 2 ; в трехмерном случае это равносильно коллинеарности векторов а 1 и а 2 . Точно так же линейная зависимость системы I из трех векторов в обычном пространстве означает компланарность этих векторов. Понятие линейной зависимости является, таким образом, естественным обобщением понятий коллинеарности и компланарности.

Нетрудно убедиться, что векторы е 1 , е 2 , ..., е n из системы (5) линейно независимы. Следовательно, в n-мерном пространстве существуют системы из n линейно независимых векторов. Можно показать, что всякая система из большего числа векторов линейно зависима.

Всякая система a 1 , а 2 , ..., а n из n линейно независимых векторов n-мерного пространства L n называется его базисом.

Любой вектор а пространства L n раскладывается, и притом единственным образом, по векторам произвольного базиса a 1 , а 2 , ..., а n:

а = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n .

Этот факт легко устанавливается на основании определения базиса.

Продолжая аналогию с трехмерным пространством, можно и в n-мерном случае определить скалярное произведение а · b векторов, полагая

a · b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n .

При таком определении сохраняются все основные свойства скалярного произведения трехмерных векторов. Векторы а и b называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.

В теории линейных кодов используется еще одно важное понятие - понятие подпространства. Подмножество V пространства L n называется подпространством этого пространства, если

1) для любых векторов а, b, принадлежащих V, их сумма а + b также принадлежит V;

2) для любого вектора а, принадлежащего V, и для любого действительного числа λ вектор λа также принадлежит V.

Например, множество всех линейных комбинаций векторов e 1 , е 2 из системы (5) будет подпространством пространства L n .

В линейной алгебре доказывается, что во всяком подпространстве V существует такая линейно независимая система векторов a 1 , a 2 , ..., a k , что всякий вектор а подпространства является линейной комбинацией этих векторов:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k .

Указанная система векторов называется базисом подпространства V.

Из определения пространства и подпространства непосредственно следует, что пространство L n есть коммутативная группа относительно операции сложения векторов, а любое его подпространство V является подгруппой этой группы. В этом смысле можно, например, рассматривать смежные классы пространства L n по подпространству V.

В заключение подчеркнем, что если в теории n-мерного арифметического пространства вместо действительных чисел (т. е. элементов поля действительных чисел) рассматривать элементы произвольного поля F, то все определения и факты, приведенные выше, сохранили бы силу.

В теории кодирования важную роль играет случай, когда поле F поле вычетов Z p , которое, как мы знаем, конечно. В этом случае соответствующее n-мерное пространство также конечно и содержит, как нетрудно видеть, р n элементов.

Понятие пространства, как и понятия группы и кольца, допускает также и аксиоматическое определение. За подробностями мы отсылаем Питателя к любому курсу линейной алгебры.

Лінійна комбінація. Лінійно залежні та незалежні системи векторів.

инейная комбинация векторов

Линейной комбинацией векторов называют вектор

где - коэффициенты линейной комбинации. Есликомбинация называется тривиальной, если- нетривиальной.

Линейная зависимость и независимость векторов

Система линейно зависимачто

Система линейно независима

Критерий линейной зависимости векторов

Для того чтобы векторы (r > 1 ) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

Размерность линейного пространства

Линейное пространство V называетсяn -мерным (имеет размерностьn ), если в нем:

1) существует n линейно независимых векторов;

2) любая система n + 1 векторов линейно зависима.

Обозначения: n = dimV ;.

Система векторов называетсялинейно зависимой, если существуетненулевой наборчиселтаких, что линейная комбинация

Система векторов называетсялинейно независимой, если из равенства нулю линейной комбинации

следует равенство нулювсех коэффициентов

Вопрос о линейной зависимости векторов в общем случае сводится к вопросу о существовании ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений с коэффициентами, равными соответствующим координатам данных векторов.

Для того чтобы хорошо усвоить понятия «линейная зависимость», «линейная независимость» системы векторов, полезно решить задачи следующего типа:

Лінійна залежність.І і ІІ критерії лінійної залежності.

Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

Доказательство . Пусть система векторов линейно зависима. Тогда существует такой набор коэффициентов , что , причем хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Предположим, что . Тогда

то есть является линейной комбинацией остальных векторов системы.

Пусть один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов. Предположим, что это вектор , то есть . Очевидно, что . Получили, что линейная комбинация векторов системы равна нулю, причем один из коэффициентов отличен от нуля (равен ).

Предложение 10 . 7 Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима.

Доказательство .

Пусть в системе векторов подсистема , , является линейно зависимой, то есть , и хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Тогда составим линейную комбинацию . Очевидно, что эта линейная комбинация равна нулю, и что среди коэффициентов есть ненулевой.

База системи векторів, її основна властивість.

Базой ненулевой системы векторов называется эквивалентная ей линейно независимая подсистема. Нулевая система базы не имеет.

Свойство 1: База линейной независимой системы совпадает с ней самой.

Пример: Система линейно независимых векторов поскольку ни один из векторов не может быть линейно вырожен через остальные.

Свойство 2:(Критерий Базы) Линейно независимая подсистема данной системы является её базой тогда и только тогда, когда она максимально линейно независима.

Доказательство: Дана система Необходимость Пусть база . Тогда по определению и, если , где , система линейно зависима, так как линейно вырожается через , следовательно максимально линейно независима. Достаточность Пусть максимально линейно независимая подсистема, тогда где . линейно зависима линейно вырожается через следовательно база системы .

Свойство 3:(Основное свойство базы) Каждый вектор системы вырожается через базу единственным образом.

Доказательство Пусть вектор вырожается через базу двумя способами, тогда: , тогда

Ранг системи векторів.

Для нахождения ранга системы векторов, нужно использовать метод Гауссаи привести систему к треугольной или трапециевидной форме.

Еквівалентні системи векторів.

Пример:

Преобразуем данные вектора в матрицу для нахождения базы. Получим:

Теперь при помощи метода Гаусса будем преобразоывавать матрицу к трапецеидальному виду:

1) В нашей основной матрице, будем анулировать весь первый столбец кроме первой строки от второй отнимим первую умноженную на , от третьей отнимим первую умноженную на , а от четвётой мы ничего не будем отнимать так как первый элемент четвёртой строки, то есть пересечение первого столбца и четвёртой строки, равен нулю. Получим матрицу : 2) Теперь в матрице , поменяем местами строки 2, 3 и 4 для простоты решения, что бы на месте элемента была еденица. Четвёртую строку поменяем поставим вместо второй, вторую вместо третьей и третью на место четвёртой. Получим матрицу : 3)В матрице анулируем все элементы под элементом . Поскольку вновь элемент нашей матреци равен нулю, мы ничего не отнимаем от четвёртой строки, а к третьей добавим вторую умноженную на . Получим матрицу : 4)Вновь поменяем в матрице строки 3 и 4 местами. Получим матрицу : 5)В матрицеприбавим к червётрой строке третью, умноженную на 5. Получим матрицу, которая будет иметь треугольный вид:

Системы , их ранги совпадают в силу свойств ранга и их ранг равен rank rank

Замечания: 1) В отличие от традиционного метода Гаусса, если в строке матрицы все элементы делятся на определённое число, мы не имеем право сокращать строку матрицы в силу действия свойств матрицы. Если мы захотим сократить строку на определённое число, придётся сокращать всю матрицу на это число. 2) В случае, если мы получим линейно зависящую строку, мы можем её убрать из нашей матрицы и заменить на нулевую строку. Пример: Сразу видно что вторая строка выражается через первую, если домножить первую на 2. В тиаком случае можем заменить всю вторую строку на нулевую. Получим: В итоге, приведя матрицу, либо к треугольному, либо к трапецеидальному виду, где у неё нету линейно зависящих векторов, все не нулевые векторы матрицы и будут базой матрицы, а их количество рангом.

Вот так же пример системы векторов в виде графика: Дана система где , , и . Базой данной системы очевидно буду вектора и , поскольку через них выражаются векторы . Данная система в графическом виде будет иметь вид:

Елементарні перетворення. Системи ступінчатого виду.

Элементарные преобразования матрицы - это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

Элементарными преобразованиями строк называют:

В некоторых курсах линейной алгебры перестановка строк матрицы не выделяется в отдельное элементарное преобразование в силу того, что перестановку местами любых двух строк матрицы можно получить, используя умножение любой строки матрицы на константу , и прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу , .

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов .

Элементарные преобразования обратимы .

Обозначение указывает на то, что матрица может быть получена из путём элементарных преобразований (или наоборот).

Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду (рис. 1.4), нужно выполнить следующие действия.

1. В первом столбце выбрать элемент, отличный от нуля (ведущий элемент ). Строку с ведущим элементом (ведущая строка ), если она не первая, переставить на место первой строки (преобразование I типа). Если в первом столбце нет ведущего (все элементы равны нулю), то исключаем этот столбец, и продолжаем поиск ведущего элемента в оставшейся части матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы или в оставшейся части матрицы все элементы нулевые.

2. Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент (преобразование II типа). Если ведущая строка последняя, то на этом преобразования следует закончить.

3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие под ведущим оказались равными нулю (преобразование III типа).

4. Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применяются к оставшейся части матрицы.

7. Теорема про розклад визначника по елементам рядка.

Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца позволяет свести вычисление определителя - го порядка () к вычислению определителей порядка .

Если определитель имеет равные нулю элементы, то удобнее всего разлагать определитель по элементам той строки или столбца, который содержит наибольшее число нулей.

Используя свойства определителей, можно преобразовать определитель - го порядка так, чтобы все элементы некоторой строки или столбца, кроме одного, стали равными нулю. Таким образом, вычисление определителя - го порядка, если он отличен от нуля, сведется к вычислению одного определителя - го порядка.

Задача 3.1. Вычислить определитель

Решение. Прибавив ко второй строке первую, к третьей – первую, умноженную на 2, к четвертой – первую, умноженную на -5, получим

Разлагая определитель по элементам первого столбца, имеем

В полученном определителе 3-го порядка обратим в нуль все элементы первого столбца, кроме первого. Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-1), к третьей, умноженной на 5, прибавим первую, умноженную на 8. Так как умножали третью строку на 5, то (для того, чтобы определитель не изменился) умножим его на . Имеем

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

8. Теорема Лапласа(1). Теорема про чужі доповнення(2)

1)Определительравенсуммепроизведений элементов какой-либо строки на ихалгебраическиедополнения.

2)Суммапроизведенийэлементовкакой-либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой его строки равна нулю (теорема об умножении на чужие алгебраические дополнения).

9. Арифметичні векторні простори .

Всякая точка на плоскости при выбранной системе координат задается парой (α, β) своих координат; числа α и β можно понимать также как координаты радиуса-вектора с концом в этой точке. Аналогично, в пространстве тройка (α, β, γ) определяет точку или вектор с координатами α, β, γ. Именно на этом основывается хорошо известная читателю геометрическая интерпретация систем линейных уравнений с двумя или тремя неизвестными. Так, в случае системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

а 1 х + b 1 у = с 1 ,

а 2 х + b 2 у = с 2

каждое из уравнений истолковывается как прямая на плоскости (см. рис. 26), а решение (α, β) - как точка пересечения этих прямых или как вектор с координатами аир (рисунок соответствует случаю, когда система имеет единственное решение).

Рис. 26

Аналогично можно поступить с системой линейных уравнений с тремя неизвестными, интерпретируя каждое уравнение как уравнение плоскости в пространстве.

В математике и различных ее приложениях (в частности, в теории кодирования) приходится иметь дело с системами линейных уравнений, содержащих более трех неизвестных. Системой линейных уравнений с n неизвестными x 1 , х 2 , ..., х n называется совокупность уравнений вида

а 11 х 1 + а 12 х 2 + ... + а 1n х n = b 1 ,

а 21 х 1 + а 22 х 2 + ... + а 2n х n = b 2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

а m1 х 1 + а m2 х 2 + ... + а mn х n = b m ,

где a ij и b i - произвольные действительные числа. Число уравнений в системе может быть любым и никак не связано с числом неизвестных. Коэффициенты при неизвестных а ij имеют двойную нумерацию: первый индекс i указывает номер уравнения, второй индекс j - номер неизвестного, при котором стоит данный коэффициент. Всякое решение системы понимается как набор (действительных) значений неизвестных (α 1 , α 2 , ..., α n), обращающих каждое уравнение в верное равенство.

Хотя непосредственное геометрическое истолкование системы (1) при n > 3 уже невозможно, однако вполне возможно и во многих отношениях удобно распространить на случай произвольного n геометрический язык пространства двух или трех измерений. Этой цели и служат дальнейшие определения.

Всякий упорядоченный набор из n действительных чисел (α 1 , α 2 , ..., α n) называется n-мерным арифметическим вектором, а сами числа α 1 , α 2 , ..., α n - координатами этого вектора.

Для обозначения векторов используется, как правило, жирный шрифт и для вектора а с координатами α 1 , α 2 , ..., α n сохраняется обычная форма записи:

а = (α 1 , α 2 , ..., α n).

По аналогии с обычной плоскостью множество всех n-мерных векторов, удовлетворяющих линейному уравнению с n неизвестными, называют гиперплоскостью в n-мерном пространстве. При таком определении множество всех решений системы (1) есть не что иное, как пересечение нескольких гиперплоскостей.

Сложение и умножение n-мерных векторов определяются по тем же правилам, что и для обычных векторов. А именно, если

а = (α 1 , α 2 , ..., α n), b = (β 1 , β 2 , ..., β n) (2)

Два n-мерных вектора, то их суммой называется вектор

α + β = (α 1 + β 1 , α 2 + β 2 , ..., α n + β n). (3)

Произведением вектора а на число λ называется вектор

λа = (λα 1 , λα 2 , ..., λα n). (4)

Множество всех n-мерных арифметических векторов с операциями сложения векторов и умножения вектора на число называется арифметическим n-мерным векторным пространством L n .

Используя введенные операции, можно рассматривать произвольные линейные комбинации нескольких векторов, т. е. выражения вида

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k ,

где λ i - действительные числа. Например, линейная комбинация векторов (2) с коэффициентами λ и μ - это вектор

λа + μb = (λα 1 + μβ 1 , λα 2 + μβ 2 , ..., λα n + μβ n).

В трехмерном пространстве векторов особую роль играет тройка векторов i, j, k (координатные орты), по которым разлагается любой вектор а:

a = xi + yj + zk,

где х, у, z - действительные числа (координаты вектора а).

В n-мерном случае такую же роль играет следующая система векторов:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

e n = (0, 0, 0, ..., 1).

Всякий вектор а есть, очевидно, линейная комбинация векторов е 1 , e 2 , ..., e n:

а = а 1 е 1 + а 2 е 2 + ... + а n е n , (6)

причем коэффициенты α 1 , α 2 , ..., α n совпадают с координатами вектора а.

Обозначая через 0 вектор, все координаты которого равны нулю (кратко, нулевой вектор), введем следующее важное определение:

Система векторов а 1 , а 2 , ..., а k называется линейно зависимой, если существует равная нулевому вектору линейная комбинация

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0,

в которой хотя бы один из коэффициентов h 1 , λ 2 , ..., λ k отличен от нуля. В противном случае система называется линейно независимой.

Так, векторы

а 1 = (1, 0, 1, 1), а 2 = (1, 2, 1, 1), а 3 = (2, 2, 2, 2)

линейно зависимы, поскольку

a 1 + a 2 - а 3 = 0.

Линейная зависимость, как видно из определения, равносильна (при k ≥ 2) тому, что хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных.

Если система состоит из двух векторов a 1 , а 2 , то линейная зависимость системы означает, что один из векторов пропорционален другому, скажем, а 1 = λа 2 ; в трехмерном случае это равносильно коллинеарности векторов а 1 и а 2 . Точно так же линейная зависимость системы I из трех векторов в обычном пространстве означает компланарность этих векторов. Понятие линейной зависимости является, таким образом, естественным обобщением понятий коллинеарности и компланарности.

Нетрудно убедиться, что векторы е 1 , е 2 , ..., е n из системы (5) линейно независимы. Следовательно, в n-мерном пространстве существуют системы из n линейно независимых векторов. Можно показать, что всякая система из большего числа векторов линейно зависима.

Всякая система a 1 , а 2 , ..., а n из n линейно независимых векторов n-мерного пространства L n называется его базисом.

Любой вектор а пространства L n раскладывается, и притом единственным образом, по векторам произвольного базиса a 1 , а 2 , ..., а n:

а = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n .

Этот факт легко устанавливается на основании определения базиса.

Продолжая аналогию с трехмерным пространством, можно и в n-мерном случае определить скалярное произведение а · b векторов, полагая

a · b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n .

При таком определении сохраняются все основные свойства скалярного произведения трехмерных векторов. Векторы а и b называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.

В теории линейных кодов используется еще одно важное понятие - понятие подпространства. Подмножество V пространства L n называется подпространством этого пространства, если

1) для любых векторов а, b, принадлежащих V, их сумма а + b также принадлежит V;

2) для любого вектора а, принадлежащего V, и для любого действительного числа λ вектор λа также принадлежит V.

Например, множество всех линейных комбинаций векторов e 1 , е 2 из системы (5) будет подпространством пространства L n .

В линейной алгебре доказывается, что во всяком подпространстве V существует такая линейно независимая система векторов a 1 , a 2 , ..., a k , что всякий вектор а подпространства является линейной комбинацией этих векторов:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k .

Указанная система векторов называется базисом подпространства V.

Из определения пространства и подпространства непосредственно следует, что пространство L n есть коммутативная группа относительно операции сложения векторов, а любое его подпространство V является подгруппой этой группы. В этом смысле можно, например, рассматривать смежные классы пространства L n по подпространству V.

В заключение подчеркнем, что если в теории n-мерного арифметического пространства вместо действительных чисел (т. е. элементов поля действительных чисел) рассматривать элементы произвольного поля F, то все определения и факты, приведенные выше, сохранили бы силу.

В теории кодирования важную роль играет случай, когда поле F поле вычетов Z p , которое, как мы знаем, конечно. В этом случае соответствующее n-мерное пространство также конечно и содержит, как нетрудно видеть, р n элементов.

Понятие пространства, как и понятия группы и кольца, допускает также и аксиоматическое определение. За подробностями мы отсылаем Питателя к любому курсу линейной алгебры.

10. Лінійна комбінація. Лінійно залежні та незалежні системи векторів.

Определение. Ступенчатой будем называть матрицу, которая обладает следующими свойствами:

1) если i-я строка нулевая, то (I + 1)-я строка также нулевая,

2) если первые ненулевые элементы i-й и (I + 1)-й строк расположены в столбцах с номерами k и R, соответственно, то k < R.

Условие 2) требует обязательного увеличения нулей слева при переходе от i-й строки к (I + 1)-й строке. Например, матрицы

А 1 = , А 2 =
, А 3 =

является ступенчатыми, а матрицы

В 1 = , В 2 = , В 3 =

ступенчатыми не являются.

Теорема 5.1. Любую матрицу можно привести к ступенчатой с помощью элементарных преобразований строк матрицы.

Проиллюстрируем эту теорему на примере.

А=

Получившаяся матрица ─ ступенчатая.

Определение. Рангом матрицы будем называть число ненулевых строк в ступенчатом виде этой матрицы.

Например, ранг матрицы А в предыдущем примере равен 3.

Лекция 6.

Определители, их свойства. Обратная матрица и её вычисление.

Определители второго порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка

А =

Определение. Определителем второго порядка, соответствующим матрице А,называется число, вычисляемое по формуле

│А│= = .

Элементы a ij называются элементами определителя │А│, элементы а 11 , а 22 образуют главную диагональ , а элементы а 12 , а 21 ─ побочную.

Пример. = -28 + 6 = -22

Определители третьего порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка

А =

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице А, называется число, вычисляемое по формуле

│А│= =

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства следует брать со знаком «плюс», а какие ─ со знаком «минус», полезно запомнить правило, называемое правилом треугольника.

= ─

Примеры:

1) = - 4 + 0 + 4 – 0 + 2 +6 = 8

2) = 1, т.е. │Е 3 │= 1.

Рассмотрим ещё один способ вычисления определителя третьего порядка.

Определение. Минором элемента a ij определителя называется определитель, полученный из данного вычёркиванием i-й строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij определителя называется его минор M ij , взятый со знаком (-1) i+ j .

Пример. Вычислим минор М 23 и алгебраическое дополнение А 23 элемента а 23 в матрице

А =

Вычислим минор М 23:

М 23 = = = - 6 + 4 = -2

А 23 = (-1) 2+3 М 23 = 2

Теорема 1. Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Док-во. По определению

= (1)

Выберем, например, вторую строку и найдём алгебраическое дополнение А 21 , А 22 , А 23:

А 21 = (-1) 2+1 = -() =

А 22 = (-1) 2+2 =

А 23 = (-1) 2+3 = - () =

Преобразуем теперь формулу (1)

│А│= () + () + () = А 21 + А 22 + А 23

│А│= А 21 + А 22 + А 23

называется разложением определителя │А│ по элементам второй строки. Аналогично разложение можно получить по элементам других строк и любого столбца.

Пример.

= (по элементам второго столбца) = 1× (-1) 1+2 + 2 × (-1) 2+2 +

+ (-1)(-1) 3+2 = - (0 + 15) + 2(-2 +20) + (-6 +0) = -15 +36 – 6 = 15.

6.3. Определитель n-го порядка (n Î N).

Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим матрице n-го порядка

А =

Называется число, равное сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

│A│= А i1 + A i2 + … + A in = А 1j + A 2j + … + A nj

Нетрудно заметить, что при n = 2 получается формула для вычисления определителя второго порядка.

Пример. = (по элементам 4-й строки) = 3×(-1) 4+2 +

2×(-1) 4+4 = 3(-6 + 20 – 2 – 32) +2(-6 +16 +60 +2)=3(-20) +2×72 = -60 +144 = 84.

Заметим, что если в определителе все элементы какой-либо строки (столбца), кроме одного, равны нулю, то при вычислении определителя его удобно разложить по элементам этой строки (столбца).

Пример.

│Е n │= = 1 × │E n -1 │ = … = │E 3 │= 1

Свойства определителей.

Определение. Матрицу вида

или

будем называть треугольной матрицей.

Свойство 1. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали, т.е.

= =

Свойство 2. Определитель матрицы с нулевой строкой или нулевым столбцом равен нулю.

Свойство 3. . При транспонировании матрицы определитель не изменяется, т.е.

│А│= │А t │.

Свойство 4. Если матрица В получается из матрицы А умножением каждого Элемента некоторой строки на число k, то

│В│= k│А│

Свойство 5.

= =

Свойство 6. Если матрица В получается из матрицы А перестановкой двух строк, то │В│= −│А│.

Свойство 7. Определитель матрицы с пропорциональными строками равен нулю, в частности, нулю равен определитель матрицы с двумя одинаковыми строками.

Свойство 8. Определитель матрицы не изменяется, если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки матрицы, умноженные на некоторое число.

Замечание. Так как по свойству 3 определитель матрицы не меняется при транспонировании, то все свойства о строках матрицы верны и для столбцов.

Свойство 9. Если А и В ─ квадратные матрицы порядка n, то │АВ│=│А││В│.

Обратная матрица.

Определение. Квадратная матрица А порядка n называется обратной, если существует матрица В такая, что АВ = ВА = Е n . В этом случае матрица В называется обратной к матрице А и обозначается А -1 .

Теорема 2. Справедливы следующие утверждения:

1) если матрица А обратима, то существует точно одна ей обратная матрица;

2) обратная матрица имеет определитель, отличный от нуля;

3) если А и В ─ обратные матрицы порядка n, то матрица АВ обратима, причём (АВ) -1 =

В -1 ×А -1 .

Доказательство.

1) Пусть В и С ─ матрицы, обратные к матрице А, т.е. АВ = ВА = Е n и АС = СА = Е n. Тогда В = ВЕ n = В(АС) = (ВА)С = Е n С = С.

2) Пусть матрица А обратима. Тогда существует матрица А -1 , ей обратная, причём

По свойству 9 определителя │АА -1 │=│А││А -1 │. Тогда │А││А -1 │=│Е n │, откуда

│А││А -1 │= 1.

Следовательно, │А│¹ 0.

3) Действительно,

(АВ)(В -1 А -1) = (А(ВВ -1))А -1 = (АЕ n)А -1 = АА -1 = Е n.

(В -1 А -1)(АВ) = (В -1 (А -1 А))В = (В -1 Е n)В = В -1 В = Е n.

Следовательно, АВ ─обратимая матрица, причём (АВ) -1 = В -1 А -1 .

Следующая теорема даёт критерий существования обратной матрицы и способ её вычисления.

Теорема 3. Квадратная матрица А обратима тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля. Если │А│¹ 0, то

А -1 = =

Пример. Найти матрицу, обратную для матрицы А =

Решение. │А│= = 6 + 1 = 7.

Так как │А│¹ 0, то существует обратная матрица

А -1 = =

Вычисляем А 11 = 3, А 12 = 1, А 21 = -1, А 22 = 2.

А -1 = .

Лекция 7.

Системы линейных уравнений. Критерий совместности системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Правило Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений.

Систем линейных уравнений.

Совокупность уравнений вида

(1)

называется системой m линейных уравнений с n неизвестными х 1, х 2, …, х n . Числа a ij называются коэффициентами системы, а числа b i ─ свободными членами.

Решением системы (1) называется совокупность чисел с 1 , с 2 ,…, с n , при подстановке которых в систему (1) вместо х 1 , х 2 ,…,х n , получаем верные числовые равенства.

Решить систему ─ значит найти все её решения или доказать, что их нет. Система называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если решений нет.

Матрица, составленная из коэффициентов системы

А =

Называется матрицей системы (1). Если к матрице системы добавить столбец свободных членов, то получим матрицу

В =
,

которую называют расширенной матрицей системы (1).

Если обозначим

Х = , С = , то систему (1) можно записать в виде матричного уравнения АХ=С.

Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду (рис. 1.4), нужно выполнить следующие действия.

1. В первом столбце выбрать элемент, отличный от нуля (ведущий элемент ). Строку с ведущим элементом (ведущая строка ), если она не первая, переставить на место первой строки (преобразование I типа). Если в первом столбце нет ведущего (все элементы равны нулю), то исключаем этот столбец, и продолжаем поиск ведущего элемента в оставшейся части матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы или в оставшейся части матрицы все элементы нулевые.

2. Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент (преобразование II типа). Если ведущая строка последняя, то на этом преобразования следует закончить.

3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие под ведущим оказались равными нулю (преобразование III типа).

4. Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применяются к оставшейся части матрицы.

Теорема про розклад визначника по елементам рядка.

Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца позволяет свести вычисление определителя - го порядка () к вычислению определителей порядка.

Если определитель имеет равные нулю элементы, то удобнее всего разлагать определитель по элементам той строки или столбца, который содержит наибольшее число нулей.

Используя свойства определителей, можно преобразовать определитель - го порядка так, чтобы все элементы некоторой строки или столбца, кроме одного, стали равными нулю. Таким образом, вычисление определителя- го порядка, если он отличен от нуля, сведется к вычислению одного определителя- го порядка.

Задача 3.1. Вычислить определитель

Решение. Прибавив ко второй строке первую, к третьей – первую, умноженную на 2, к четвертой – первую, умноженную на -5, получим

Разлагая определитель по элементам первого столбца, имеем

.

В полученном определителе 3-го порядка обратим в нуль все элементы первого столбца, кроме первого. Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-1), к третьей, умноженной на 5, прибавим первую, умноженную на 8. Так как умножали третью строку на 5, то (для того, чтобы определитель не изменился) умножим его на . Имеем

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Теорема Лапласа(1). Теорема про чужі доповнення(2)

1)Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения.

2)Сумма произведений элементов какой-либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой его строки равна нулю (теорема об умножении на чужие алгебраические дополнения).

Всякая точка на плоскости при выбранной системе координат задается парой (α, β) своих координат; числа α и β можно понимать также как координаты радиуса-вектора с концом в этой точке. Аналогично, в пространстве тройка (α, β, γ) определяет точку или вектор с координатами α, β, γ. Именно на этом основывается хорошо известная читателю геометрическая интерпретация систем линейных уравнений с двумя или тремя неизвестными. Так, в случае системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

а 1 х + b 1 у = с 1 ,

а 2 х + b 2 у = с 2

каждое из уравнений истолковывается как прямая на плоскости (см. рис. 26), а решение (α, β) - как точка пересечения этих прямых или как вектор с координатами аир (рисунок соответствует случаю, когда система имеет единственное решение).

Рис. 26

Аналогично можно поступить с системой линейных уравнений с тремя неизвестными, интерпретируя каждое уравнение как уравнение плоскости в пространстве.

В математике и различных ее приложениях (в частности, в теории кодирования) приходится иметь дело с системами линейных уравнений, содержащих более трех неизвестных. Системой линейных уравнений с n неизвестными x 1 , х 2 , ..., х n называется совокупность уравнений вида

а 11 х 1 + а 12 х 2 + ... + а 1n х n = b 1 ,

а 21 х 1 + а 22 х 2 + ... + а 2n х n = b 2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

а m1 х 1 + а m2 х 2 + ... + а mn х n = b m ,

где a ij и b i - произвольные действительные числа. Число уравнений в системе может быть любым и никак не связано с числом неизвестных. Коэффициенты при неизвестных а ij имеют двойную нумерацию: первый индекс i указывает номер уравнения, второй индекс j - номер неизвестного, при котором стоит данный коэффициент.

Всякое решение системы понимается как набор (действительных) значений неизвестных (α 1 , α 2 , ..., α n ), обращающих каждое уравнение в верное равенство.

Хотя непосредственное геометрическое истолкование системы (1) при n > 3 уже невозможно, однако вполне возможно и во многих отношениях удобно распространить на случай произвольного n геометрический язык пространства двух или трех измерений. Этой цели и служат дальнейшие определения.

Всякий упорядоченный набор из n действительных чисел (α 1 , α 2 , ..., α n ) называется n-мерным арифметическим вектором, а сами числа α 1 , α 2 , ..., α n - координатами этого вектора.

Для обозначения векторов используется, как правило, жирный шрифт и для вектора а с координатами α 1 , α 2 , ..., α n сохраняется обычная форма записи:

а = (α 1 , α 2 , ..., α n).

По аналогии с обычной плоскостью множество всех n-мерных векторов, удовлетворяющих линейному уравнению с n неизвестными, называют гиперплоскостью в n-мерном пространстве. При таком определении множество всех решений системы (1) есть не что иное, как пересечение нескольких гиперплоскостей.

Сложение и умножение n-мерных векторов определяются по тем же правилам, что и для обычных векторов. А именно, если

а = (α 1 , α 2 , ..., α n), b = (β 1 , β 2 , ..., β n) (2)

Два n-мерных вектора, то их суммой называется вектор

α + β = (α 1 + β 1 , α 2 + β 2 , ..., α n + β n). (3)

Произведением вектора а на число λ называется вектор

λа = (λα 1 , λα 2 , ..., λα n). (4)

Множество всех n-мерных арифметических векторов с операциями сложения векторов и умножения вектора на число называется арифметическим n-мерным векторным пространством L n .

Используя введенные операции, можно рассматривать произвольные линейные комбинации нескольких векторов, т. е. выражения вида

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k ,

где λ i - действительные числа. Например, линейная комбинация векторов (2) с коэффициентами λ и μ - это вектор

λа + μb = (λα 1 + μβ 1 , λα 2 + μβ 2 , ..., λα n + μβ n).

В трехмерном пространстве векторов особую роль играет тройка векторов i, j, k (координатные орты), по которым разлагается любой вектор а:

a = xi + yj + zk,

где х, у, z - действительные числа (координаты вектора а).

В n-мерном случае такую же роль играет следующая система векторов:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

e n = (0, 0, 0, ..., 1).

Всякий вектор а есть, очевидно, линейная комбинация векторов е 1 , e 2 , ..., e n:

а = а 1 е 1 + а 2 е 2 + ... + а n е n , (6)

причем коэффициенты α 1 , α 2 , ..., α n совпадают с координатами вектора а.

Обозначая через 0 вектор, все координаты которого равны нулю (кратко, нулевой вектор), введем следующее важное определение:

Система векторов а 1 , а 2 , ..., а k называется линейно зависимой, если существует равная нулевому вектору линейная комбинация

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0,

в которой хотя бы один из коэффициентов h 1 , λ 2 , ..., λ k отличен от нуля. В противном случае система называется линейно независимой.

Так, векторы

а 1 = (1, 0, 1, 1), а 2 = (1, 2, 1, 1), а 3 = (2, 2, 2, 2)

линейно зависимы, поскольку

a 1 + a 2 - а 3 = 0.

Линейная зависимость, как видно из определения, равносильна (при k ≥ 2) тому, что хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных.

Если система состоит из двух векторов a 1 , а 2 , то линейная зависимость системы означает, что один из векторов пропорционален другому, скажем, а 1 = λа 2 ; в трехмерном случае это равносильно коллинеарности векторов а 1 и а 2 . Точно так же линейная зависимость системы I из трех векторов в обычном пространстве означает компланарность этих векторов. Понятие линейной зависимости является, таким образом, естественным обобщением понятий коллинеарности и компланарности.

Нетрудно убедиться, что векторы е 1 , е 2 , ..., е n из системы (5) линейно независимы. Следовательно, в n-мерном пространстве существуют системы из n линейно независимых векторов. Можно показать, что всякая система из большего числа векторов линейно зависима.

Всякая система a 1 , а 2 , ..., а n из n линейно независимых векторов n-мерного пространства L n называется его базисом.

Любой вектор а пространства L n раскладывается, и притом единственным образом, по векторам произвольного базиса a 1 , а 2 , ..., а n:

а = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n .

Этот факт легко устанавливается на основании определения базиса.

Продолжая аналогию с трехмерным пространством, можно и в n-мерном случае определить скалярное произведение а · b векторов, полагая

a · b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n .

При таком определении сохраняются все основные свойства скалярного произведения трехмерных векторов. Векторы а и b называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.

В теории линейных кодов используется еще одно важное понятие - понятие подпространства. Подмножество V пространства L n называется подпространством этого пространства, если

1) для любых векторов а, b, принадлежащих V, их сумма а + b также принадлежит V;

2) для любого вектора а, принадлежащего V, и для любого действительного числа λ вектор λа также принадлежит V.

Например, множество всех линейных комбинаций векторов e 1 , е 2 из системы (5) будет подпространством пространства L n .

В линейной алгебре доказывается, что во всяком подпространстве V существует такая линейно независимая система векторов a 1 , a 2 , ..., a k , что всякий вектор а подпространства является линейной комбинацией этих векторов:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k .

Указанная система векторов называется базисом подпространства V.

Из определения пространства и подпространства непосредственно следует, что пространство L n есть коммутативная группа относительно операции сложения векторов, а любое его подпространство V является подгруппой этой группы. В этом смысле можно, например, рассматривать смежные классы пространства L n по подпространству V.

В заключение подчеркнем, что если в теории n-мерного арифметического пространства вместо действительных чисел (т. е. элементов поля действительных чисел) рассматривать элементы произвольного поля F, то все определения и факты, приведенные выше, сохранили бы силу.

В теории кодирования важную роль играет случай, когда поле F поле вычетов Z p , которое, как мы знаем, конечно. В этом случае соответствующее n-мерное пространство также конечно и содержит, как нетрудно видеть, р n элементов.

Понятие пространства, как и понятия группы и кольца, допускает также и аксиоматическое определение. За подробностями мы отсылаем Питателя к любому курсу линейной алгебры.

Лінійна комбінація. Лінійно залежні та незалежні системи векторів.

инейная комбинация векторов

Линейной комбинацией векторов называют вектор

где - коэффициенты линейной комбинации. Есликомбинация называется тривиальной, если- нетривиальной.

Линейная зависимость и независимость векторов

Система линейно зависимачто

Система линейно независима

Критерий линейной зависимости векторов

Для того чтобы векторы (r > 1 ) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

Размерность линейного пространства

Линейное пространство V называетсяn -мерным (имеет размерностьn ), если в нем:

1) существует n линейно независимых векторов;

2) любая система n + 1 векторов линейно зависима.

Обозначения: n = dimV ;.

Система векторов называетсялинейно зависимой, если существуетненулевой наборчиселтаких, что линейная комбинация

Система векторов называетсялинейно независимой, если из равенства нулю линейной комбинации

следует равенство нулювсех коэффициентов

Вопрос о линейной зависимости векторов в общем случае сводится к вопросу о существовании ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений с коэффициентами, равными соответствующим координатам данных векторов.

Для того чтобы хорошо усвоить понятия «линейная зависимость», «линейная независимость» системы векторов, полезно решить задачи следующего типа:

Лінійна залежність.І і ІІ критерії лінійної залежності.

Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

Доказательство . Пусть система векторов линейно зависима. Тогда существует такой набор коэффициентов , что , причем хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Предположим, что . Тогда

то есть является линейной комбинацией остальных векторов системы.

Пусть один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов. Предположим, что это вектор , то есть . Очевидно, что . Получили, что линейная комбинация векторов системы равна нулю, причем один из коэффициентов отличен от нуля (равен ).

Предложение 10 . 7 Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима.

Доказательство .

Пусть в системе векторов подсистема , , является линейно зависимой, то есть , и хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Тогда составим линейную комбинацию . Очевидно, что эта линейная комбинация равна нулю, и что среди коэффициентов есть ненулевой.

База системи векторів, її основна властивість.

Базой ненулевой системы векторов называется эквивалентная ей линейно независимая подсистема. Нулевая система базы не имеет.

Свойство 1: База линейной независимой системы совпадает с ней самой.

Пример: Система линейно независимых векторов поскольку ни один из векторов не может быть линейно вырожен через остальные.

Свойство 2:(Критерий Базы) Линейно независимая подсистема данной системы является её базой тогда и только тогда, когда она максимально линейно независима.

Доказательство: Дана система Необходимость Пусть база . Тогда по определению и, если , где , система линейно зависима, так как линейно вырожается через , следовательно максимально линейно независима. Достаточность Пусть максимально линейно независимая подсистема, тогда где . линейно зависима линейно вырожается через следовательно база системы .

Свойство 3:(Основное свойство базы) Каждый вектор системы вырожается через базу единственным образом.

Доказательство Пусть вектор вырожается через базу двумя способами, тогда: , тогда

Ранг системи векторів.

Для нахождения ранга системы векторов, нужно использовать метод Гауссаи привести систему к треугольной или трапециевидной форме.

Еквівалентні системи векторів.

Пример:

Преобразуем данные вектора в матрицу для нахождения базы. Получим:

Теперь при помощи метода Гаусса будем преобразоывавать матрицу к трапецеидальному виду:

1) В нашей основной матрице, будем анулировать весь первый столбец кроме первой строки от второй отнимим первую умноженную на , от третьей отнимим первую умноженную на , а от четвётой мы ничего не будем отнимать так как первый элемент четвёртой строки, то есть пересечение первого столбца и четвёртой строки, равен нулю. Получим матрицу : 2) Теперь в матрице , поменяем местами строки 2, 3 и 4 для простоты решения, что бы на месте элемента была еденица. Четвёртую строку поменяем поставим вместо второй, вторую вместо третьей и третью на место четвёртой. Получим матрицу : 3)В матрице анулируем все элементы под элементом . Поскольку вновь элемент нашей матреци равен нулю, мы ничего не отнимаем от четвёртой строки, а к третьей добавим вторую умноженную на . Получим матрицу : 4)Вновь поменяем в матрице строки 3 и 4 местами. Получим матрицу : 5)В матрицеприбавим к червётрой строке третью, умноженную на 5. Получим матрицу, которая будет иметь треугольный вид:

Системы , их ранги совпадают в силу свойств ранга и их ранг равен rank rank

Замечания: 1) В отличие от традиционного метода Гаусса, если в строке матрицы все элементы делятся на определённое число, мы не имеем право сокращать строку матрицы в силу действия свойств матрицы. Если мы захотим сократить строку на определённое число, придётся сокращать всю матрицу на это число. 2) В случае, если мы получим линейно зависящую строку, мы можем её убрать из нашей матрицы и заменить на нулевую строку. Пример: Сразу видно что вторая строка выражается через первую, если домножить первую на 2. В тиаком случае можем заменить всю вторую строку на нулевую. Получим: В итоге, приведя матрицу, либо к треугольному, либо к трапецеидальному виду, где у неё нету линейно зависящих векторов, все не нулевые векторы матрицы и будут базой матрицы, а их количество рангом.

Вот так же пример системы векторов в виде графика: Дана система где , , и . Базой данной системы очевидно буду вектора и , поскольку через них выражаются векторы . Данная система в графическом виде будет иметь вид:

Елементарні перетворення. Системи ступінчатого виду.

Элементарные преобразования матрицы - это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

Элементарными преобразованиями строк называют:

В некоторых курсах линейной алгебры перестановка строк матрицы не выделяется в отдельное элементарное преобразование в силу того, что перестановку местами любых двух строк матрицы можно получить, используя умножение любой строки матрицы на константу , и прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу , .

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов .

Элементарные преобразования обратимы .

Обозначение указывает на то, что матрица может быть получена из путём элементарных преобразований (или наоборот).

При решении и исследовании системы линейных уравнений Еажную роль играют приведенные ступенчатые матрицы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ступенчатая матрица называется приведенной, если матрица, составленная из всех ее основных столбцов, является единичной матрицей.

Приведенная ступенчатая матрица не имеет нулевых строк, и все ведущие элементы ее строк равны единице.

ТЕОРЕМА 3.4. Любая ненулевая матрица строчечно эквивалентна приведенной ступенчатой матрице.

Доказательство. Пусть - ненулевая матрица ранга . По теоремам 3.2 и 3.3, она строчечно эквивалентна ступенчатой матрице, например матрице В, состоящей из ненулевых строк. Разделим каждую строку матрицы В на ее ведущий элемент.

В результате получим ступенчатую матрицу С, у которой все ведущие элементы строк равны единице. Далее, при помощи цепочки строчечных элементарных преобразований матрицы С обращаем в нуль все ненулевые элементы, расположенные над ведущими элементами. В результате получим матрицу D, основные столбцы которой образуют единичную матрицу. Следовательно, D есть искомая приведенная ступенчатая матрица, строчечно эквивалентная исходной матрице А.

ТЕОРЕМА 3.5. Всякая квадратная -матрица с линейно независимыми строками строчечно эквивалентна единичной -матрице Е.

Доказательство. Пусть А - -матрица с линейно независимыми строками. При помощи цепочки неособенных элементарных строчечных преобразований ее можно привести к некоторой ступенчатой -матрице Пусть - ведущие элементы матрицы С. Тогда

Из неравенств (2) следует, что Поэтому матрица С имеет вид

т. е. является верхнетреугольной матрицей с ненулевыми элементами на главной диагонали. Умножим первую строку матрицы на вторую - на и т. д. В результате получим строчечно эквивалентную матрицу