Справочные данные по гиперболическим функциям – свойства, графики, формулы. Определения гиперболических функций, их области определений и значений. Формулы суммы и разности гиперболических функций

Справочные данные по гиперболическим функциям. Определения, графики и свойства гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Формулы сумм, разностей и произведений. Производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через тригонометрические функции.

Определения гиперболических функций, их области определений и значений

sh x - гиперболический синус

, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .

ch x - гиперболический косинус

, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y < +∞ .

th x - гиперболический тангенс

, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .

cth x - гиперболический котангенс

X ≠ 0 ; y < -1 или y > +1 .

Графики гиперболических функций

График гиперболического синуса y = sh x

График гиперболического косинуса y = ch x

График гиперболического тангенса y = th x

График гиперболического котангенса y = cth x

Формулы с гиперболическими функциями

Связь с тригонометрическими функциями

sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z ; ch iz = cos z
tg iz = i th z ; ctg iz = - i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = - i ctg z
Здесь i - мнимая единица, i 2 = -1 .

Применяя эти формулы к тригонометрическим функциям, получаем формулы, связывающие гиперболические функции.

Четность

sh(-x) = - sh x ; ch(-x) = ch x .
th(-x) = - th x ; cth(-x) = - cth x .

Функция ch(x) - четная. Функции sh(x) , th(x) , cth(x) - нечетные.

Разность квадратов

ch 2 x - sh 2 x = 1 .

Формулы суммы и разности аргументов

sh(x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y ,
ch(x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y ,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ch x ,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x ,
.

Формулы произведений гиперболического синуса и косинуса

,
,
,

,
,
.

Формулы суммы и разности гиперболических функций

,
,
,
,
.

Связь гиперболического синуса и косинуса с тангенсом и котангенсом

, ,
, .

Производные

,

Интегралы от sh x, ch x, th x, cth x

,
,
.

Разложения в ряды

sh x

ch x

th x

cth x

Обратные функции

Ареасинус

При - ∞ < x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Ареакосинус

При 1 ≤ x < ∞ и 0 ≤ y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Вторая ветвь ареакосинуса расположена при 1 ≤ x < ∞ и - ∞ < y ≤ 0 :
.

Ареатангенс

При - 1 < x < 1 и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Ареакотангенс

При - ∞ < x < - 1 или 1 < x < ∞ и y ≠ 0 имеют место формулы:
,
.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Много лет назад тег td использовался для вёрстки сайтов, что не является его прямым назначением. А с ростом популярности CSS идея «таблицы - это плохо » укоренилась в мозгах многих разработчиков. Но это совсем не так - таблицы плохи только тогда, когда их используют не по назначению. То есть не для отображения табличных данных: электронных таблиц, календарей, и т.д. Если вам необходимо вставить на страницу подобные данные, не стоит сомневаться - смело используйте HTML-таблицы .

Те, кто начал заниматься веб-разработкой уже после того, как табличная вёрстка впала «в немилость », могут не знать всех элементов, используемых в HTML-таблицах . Один из распространённых вопросов от них звучит так: «В чём разница между табличными тегами и ? ».

Что такое тег ?

HTML тег td расшифровывается как table data («табличные данные »). Он создаёт ячейки в определённом ряду таблицы. Именно в этот тег необходимо вставлять текст и изображения.

Что такое тег ?

Тег расшифровывается как table header («заголовок таблицы »). Он во многом похож на . Он принимает такой же тип содержимого (хотя изображение в лучше не вставлять ), но обозначает одну ячейку как заглавную.

Большинство браузеров отображают текст в такой ячейке жирным шрифтом и выравнивают его по центру. Конечно, для оформления заголовков таблицы и содержимого ячеек можно и нужно использовать CSS .

Когда стоит использовать , а не ?

Тэг (а не теги tr и td ) используется для установки содержимого ячейки заголовком определённой колонки или ряда.

Заголовки таблицы обычно расположены по верхнему или левому краю таблицы - в верхнем ряду как заголовки колонки или в первой колонке слева как заголовки ряда. Ячейки-заголовки показывают, что за содержимое расположено в таблице рядом или под ними, облегчая восприятие таблицы.

Не используйте для оформления ячеек. Поскольку браузеры обычно меняют внешний вид ячеек-заголовков, некоторые веб-дизайнеры пользуются этой особенностью для выделения и центровки шрифта. Так не следует делать сразу по нескольким причинам:

1. Нельзя полагаться на то, что все браузеры будут отображать ваш контент одинаково. Будущая версия браузера может поменять цвет, используемый по умолчанию или вообще перестать выделять содержимое тега . Поэтому никогда не стоит полагаться на встроенные стили браузеров и использовать данный HTML-элемент ;
2. Это семантически неправильно. Некоторые пользовательские агенты могут читать голосом содержимое таблиц и добавлять «заголовок таблицы: ваш текст » при встрече с ячейкой . Кроме этого некоторые веб-приложения могут размещать заголовки по верхней кромке страницы. Это станет проблемой, если ячейка не является заголовком, а используется исключительно для оформления.

Использование неподходящих тегов может ограничить доступность вашего контента для многих пользователей. Особенно для тех, кто использует различные вспомогательные устройства.

Для оформления ячеек следует применять CSS . Разделение стиля (CSS ) и структуры (HTML тег td ) - общепринятый метод веб-дизайна уже много лет. Повторим ещё раз: используйте потому, что содержимое ячейки - заголовок, а не потому, что вам нравится, как это по умолчанию отображает ваш браузер.

Перевод статьи “What’s the difference between th and td HTML table tags? ” был подготовлен дружной командой проекта .

Хорошо Плохо

Закрывающий тег

Не обязателен.

Атрибуты

Пример

Результат данного примера показан на рис. 1.

Рис. 1. Вид ячеек, оформленных с помощью стилей

Спецификация

Каждая спецификация проходит несколько стадий одобрения.

• Recommendation (Рекомендация ) - спецификация одобрена W3C и рекомендована как стандарт.
• Candidate Recommendation (Возможная рекомендация ) - группа, отвечающая за стандарт, удовлетворена, как он соответствует своим целям, но требуется помощь сообщества разработчиков по реализации стандарта.
• Proposed Recommendation (Предлагаемая рекомендация ) - на этом этапе документ представлен на рассмотрение Консультативного совета W3C для окончательного утверждения.
• Working Draft (Рабочий проект ) - более зрелая версия черновика после обсуждения и внесения поправок для рассмотрения сообществом.
• Editor"s draft (Редакторский черновик ) - черновая версия стандарта после внесения правок редакторами проекта.
• Draft (Черновик спецификации ) - первая черновая версия стандарта.

Особняком стоит живой стандарт HTML (Living ) - он не придерживается традиционной нумерации версий, поскольку находится в постоянной разработке и обновляется регулярно.

Уже не раз в комментариях просили разобрать межзубный звук th. Это ничуть не удивляет: th – один из самых часто встречаемых звуков английского языка, при этом в русском языке (да и во многих других) этого звука просто нет.

Как его произносить? Как исправить типичные ошибки? Как “натренировать свой рот” на правильное произношение? Сегодня мы ответим на эти вопросы при помощи видео, упражнений, скороговорок, слов и примеров из песен.

Какой звук дают буквы th

Только давай сразу оговоримся, что th – это не звук. Это сочетание букв, которое может читаться как два звука: глухой / θ /, как в слове thanks, и звонкий / ð /, как в слове that. Именно этими знаками межзубные “звуки th” обозначаются в транскрипции. Но в статье я иногда буду писать “звук th” для удобства.

Оба звука, и звонкий и глухой, артикулируются одинаково (губы и язык находятся в одном положении). Поэтому построим работу мы следующим образом:

1. Сначала научимся правильному положению рта для обоих звуков;
2. Потом проанализируем возможные ошибки и узнаем, как их исправить;
3. Потом отработаем на скороговорках и словах каждый звук по отдельности.

Да, этих звуков у нас нет. Но у нас есть понятие “шепелявить”. Помнишь ленивца Сида из Ледникового периода: “Нет, я ф лиф ком молод, ф тобы умирать!” . В английском толковом словаре слово “lisp” (шепелявить) толкуется как “дефект речи, при котором s и z звучат как th в think и this соответственно”.

В этом видео как раз говорится про шепелявость. Рекомендую к просмотру: просто и с юмором.

То есть, получается, нам нужно произнести русский / с / шепеляво для глухого / θ / и русский / з / – для звонкого / ð /. Как это, “шепеляво”? Скажи прямо сейчас слово “состав” . При произнесении звука / c / твой язык находится ЗА зубами. Теперь поставь язык между зубов (звук th – межзубный) и снова скажи “состав” . У тебя получится подобие глухого th, как в слове thick .

Теперь проделай то же самое, но уже со словом “зазор”. В итоге у тебя получится подобие звонкого th, как в слове then .

Почему я говорю “подобие”? Потому что русские /с – з/ /s – z/, а значит и шепелявость их будет немного отличаться. Поэтому давай все же поподробнее остановимся на положении артикуляционного аппарата.

Как произносится звук th в английском

Язык распластан и напряжен, а его кончик находится между верхними и нижними зубами, образуя узкую плоскую щель между режущим краем верхних зубов и поверхностью переднего края языка.

Чтобы научиться идеальной постановке артикуляционного аппарата предлагаю тебе к просмотру видео. В нем показано три лайфхака:

2:08 – как поставить артикуляционный аппарат в идеальное положение: открой рот, положи язык сверху на нижние зубы, чтобы кончик находился прямо за нижней губой и медленно опусти на язык верхние зубы – попробуй произнести глухой вариант th, как в think .

2:52 – как ощутить нужное напряжение языка: берем соломинку и ставим ее между языком и верхними зубами – так ты почувствуешь, какой силы напряжение должно быть у языка.

3:36 – насколько высовывать язык вперед: ставим палец перпендикулярно губам (как, когда мы просим быть потише) и высовываем язык. Язык должен слегка касаться пальца – это и есть лимит.

И не забывай повторять предложения и слова вслед за ведущим! С этим звуком нужна практика и еще раз практика.

Произношение межзубного звука th: видео.

Как произносить звук th на русском

Теперь, когда ты разобрался, в каком положении должен находиться артикуляционный аппарат, давай вместе посмеемся над типичными ошибками русскоговорящих, чтобы избежать их на практике (которая, кстати, будет идти сразу после этого пункта).

Видишь, не так уж все и сложно. 🙂 Разобраться, как именно должен произноситься этот звук, вполне посильно. Тем более, что в Интернете полно обучающих видео по этой теме (например, посмотри , из которого ты узнаешь о том, как правильно произносить звуки th в сочетании с другими звуками).

В чем же тогда загвоздка? Почему этот звук все же вызывает трудности? Потому что приучить себя правильно произносить его при быстрой и спонтанной речи – настоящий подвиг для нас. Выход – специальные упражнения и много практики.

Отработка звука th на английском: упражнения и тренировки

Первый совет: сначала, чтобы языку стало привычнее это “межзубное положение”, намеренно преувеличивай! Высовывай язык максимально вперед, произноси его очень утрированно, не стесняйся выглядеть глупо. Подробнее в видео:

Еще одно упражнение, которое поможет привыкнуть: напевать абсолютно любую мелодию (например, “В лесу родилась елочка”), заменяя все слова на звуки / θ / и / ð /.

В лесу родилась ёлочка, в лесу она росла, зимой и летом стройная зеленая была
Thethe thethethe thethethe, thethe thethe thethe, thethe the thethe thethethe thethethethe thethe.

Теперь, когда ты привык, переходи к отработке на словах и скороговорках.

Английские слова со звуком th: глухой вариант

Итак, настраиваем рот в нужное положение и приступаем к фонетической зарядке на звук th. Не забывай, что этот звук не нужно смягчать перед гласными переднего ряда (такими, как i). Звук / θ / всегда только твердый.

thought /θɔːt/

thrust /θrʌst/

through /θruː/

strength /streŋθ/

thrall /θrɔːl/

fourth /fɔːθ/

Отлично! Теперь ты можешь попробовать на скороговорках.

Скороговорки на английском на звук th

• Th irty-th ree th ousand and th irty th inkers th ought th irty-th ree th ousand and th irty th oughts.
• Th ree th erapists th rew th ree th ermometers in th ree th ick th ickets of th orny th istle.
• I am th ankful for a th ousand th ings … For faith ful earth , for birth and breath , for th ought and health and strength and mirth , and, may be, when it comes, for death .

В завершение нашей тренировки, как обычно, мы возьмем пример из известной песни на звук th. Я остановилась на песне “Under My Thumb” группы The Rolling Stones. Слово thumb повторяется на протяжении всей песни с отчетливым произношением звука / θ /.

Слова со звуком th в английском языке: звонкий вариант

Теперь переходим к звонкому звуку / ð /. Вновь обращаю твое внимание, что этот звук всегда твердый и не смягчается перед гласными переднего ряда.

loathe /ləʊð/

breathe /briːð/

other /ˈʌð.ə r /

there /ðeə r /

whether /ˈweð.ə r /

mother /ˈmʌð.ə r /

father /ˈfɑː.ðə r /

brother /ˈbrʌð.ə r /

neither /ˈniː.ðə r /

worthy /ˈwɜː.ði/

leather /ˈleð.ə r /

together /təˈɡeð.ə r /

another /əˈnʌð.ə r /

Английские скороговорки на звук th

• Th ese broth ers bath e with th ose broth ers, th ose broth ers bath e with th ese broth ers.
• Th ey are always both ering Fath er and Moth er to do things for th em.
• Th ese cloth es are rath er for th e southern weath er, th ose cloth es are rath er for th e northern weath er.

Кстати, очень советую и изучить еще одну скороговорку. Вернее, это множество разных скороговорок на глухой и звонкий th, которые наложены на музыку. Выучишь эту песню, и твой артикуляционный аппарат никогда не забудет верное положение. 🙂

А теперь пример из песни. Для звонкого th я остановилась на песне “One Way Or Another” группы Blondie. Слово another вновь произносится на протяжении всей песни и четко артикулируется.

Итоги: чтение звуков th в английском языке

Как видишь, ничего слишком страшного в звуке th нет. Главное – практика. Ты можешь сохранить нашу статью в закладки и периодически прогонять тренировки звуков th снова и снова. А чтобы ничего не спуталось в голове, предлагаю кратко подвести итоги:

• Буквосочетание th дает 2 звука: глухой / θ /, как в thanks, и звонкий / ð /, как в that . Запомни эти значки: если ты встретил новое слово, то обратись к словарю , чтобы узнать транскрипцию и услышать произношение.
• Этот звук произносится, как шепелявое / s / и / z / – язык распластан и напряжен, кончик находится между верхними и нижними зубами, образуя узкую плоскую щель между режущим краем верхних зубов и поверхностью переднего края языка.
• Основная сложность для нас – приучить свой артикуляционный аппарат к этому звуку. Особенно к тому, чтобы правильно произносить его во время быстрой, беглой речи. Поэтому обязательно проводи для себя тренировки: напевай песенки, прогоняй наборы слов и скороговорки.

Не переключайся: продолжение следует

В мы посчитали, что нам осталось разобрать 24 звука. Следовательно, после сегодняшнего тренинга остается 22. В следующий раз мы возьмемся за новую порцию звуков, на этот раз – гласных. До новых встреч! 🙂